Учебный групповой проект по физике

МБОУ «Шумаковская СОШ»

Научно – исследовательский проект

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА»

Выполнили:

обучающиеся 11 класса

Божкова А., Роговской В.

Научный руководитель:

учитель физики

Талдыкина Л.Ю.

2024 – 2025 учебный год

Содержание

Введение………………………………………………………………….. 2

Основная часть

1. Инструментальная погрешность………………...……. …………….. 3

2. Случайные погрешности измерений …………………. ……………..4

3. Обработка результатов измерений……………………………………5

4. Измерение ускорения свободного падения…………......................... 6

Заключение……………………………………………….... ……………..8

Список литературы………………………………………………………..8

Аннотация

Настоящая работа открывает цикл научных исследований, посвященных качественному проведению лабораторных работ в курсе физики средней школы с учетом погрешностей эксперимента и математической обработкой результатов опытов.

Цель работы – разработка методов, позволяющих в условиях школьного оборудования добиться максимально возможной точности измерения, расширить диапазон задач, решаемых в рамках каждой лабораторной работы, а также сопоставление различных методик измерений.

Введение

Со времен Галилея опыт (эксперимент) приобрел статус обязательного условия подтверждения теории. Но результат опыта может и не совпадать с прогнозируемым и тогда возникает два вопроса: ошибочна ли теория и качественно ли выполнен эксперимент. По этой причине проведение практической работы должно сопровождаться оценкой погрешности эксперимента, чтобы реально знать истинную причину расхождения результатов теории и эксперимента. Таким образом, кроме знания физических законов, умения проводить измерения физических величин, возникает еще одна важная задача - оценка погрешности эксперимента и поиск путей снижения этой неминуемой погрешности. Поэтому целью настоящей научной работы является подбор условий и методов измерения физической величины для получения наименьшей погрешности результата эксперимента для наиболее известных лабораторных работ в курсе физики, а также математическая обработка результатов измерений связанных с расчетом погрешности.

1. Инструментальная погрешность

Все измерения делятся на две группы: прямые и косвенные. Прямые измерения – это определение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (приборов). Косвенные измерения – это определение значения физической величины по формуле, куда входят величины, полученные прямым измерением. Погрешности для этих типов измерений вычисляются по-разному. В случае прямых измерений максимальная абсолютная погрешность ΔА складывается из абсолютной инструментальной погрешности, определяемой конструкцией прибора ΔА_и , и абсолютной погрешности отсчета ΔА_о, которая принимается равной половине цены деления прибора ΔА = ΔА_и + ΔА_о . Для школьных приборов значения абсолютных погрешностей средств измерений представлены в таблице 1

Табл.1

	средства измерения	цена деления	ΔАИ	ΔАО	ΔА
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	Линейка ученическая Линейка чертежная Штангенциркуль Лента измерительная Микрометр Динамометр Секундомер электронный Термометр Амперметр Вольтметр	1мм 1мм 0,1мм 0,5см 0,01мм 0,1Н 0,05с 10С 0,1А 0,2В	1мм 0,2мм 0,05мм 0,5см 0,005мм 0,05Н 0,025с 10С 0,05А 0,15В	0,5мм 0,5мм 0,05мм 0,5см 0,005мм 0,05Н 0,025с 0,50С 0,05А 0,1В	1,5мм 0,7мм 0,1мм 0,75см 0,01мм 0,1Н 0,2с 1,50С 0,1А 0,25В

Для расчета косвенных погрешностей используются специальные формулы, полученные с помощью математического анализа для оценки относительной погрешности вычисляемой величины: ε = ΔА/А.

Табл.2

	формула физической величины	формула относительной погрешности
1 2 3 4 5 6	V = a b c S = π r2 v = s / t g = 4 π2 ℓ /T2 A = B + C	ε = Δa /a + Δb /b + Δc /c ε = 2 Δr /r ε = Δs /s + Δt /t ε = ½ (Δℓ/ℓ + Δg /g ) ε = Δℓ/ℓ + 2 Δt /t ε = (ΔB + ΔC ) / ( B + C )

Таким образом, абсолютные инструментальные погрешности могут быть рассчитаны до проведения эксперимента. Что касается относительных погрешностей, то из самого определения ε следует, что чем больше измеряемая величина, тем меньше относительная погрешность. И этот факт должен быть доминирующим при проведении лабораторных работ.

2. Случайные погрешности измерений

При проведении измерений физических величин всегда допускается не только систематические, но и случайные погрешности измерений. Например, масса груза или длина нити маятника будут оставаться неизменными в течении всей серии опытов и не требуют повторных измерений. Однако, время совершения заданного количества колебаний маятника или начальная скорость шарика, вылетающего из баллистического пистолета, будут меняться при повторных измерениях, так как на результат опыта влияет ряд факторов (сопротивление воздуха, положение шарика относительно плоскости колебаний или оси ствола, неодинаковая продолжительность работы фиксатора и выключения секундомера и т.д.). Для нейтрализации влияния неконтролируемых факторов, которые от опыта к опыту отличаются не только модулем, но и знаком, производится несколько повторных измерений при одинаковых условиях опыта, с последующим нахождением среднего арифметического значения, которое нейтрализует влияние побочных факторов и уменьшает случайную погрешность. Обычно, выполняют 3 - 5 повторных измерений. Допустим, величина А была получена в результате пяти опытов, повторяющихся при неизменных условиях: А₁ = 34,5 А₂ = 33,8 А₃ = 33,9 А₄ = 33,5 А₅ = 54,2. Предварительный анализ показывает, что А₅ существенно отличается от первых четырех измерений и не может быть взята при расчете среднего значения измеряемой величины, либо она должна быть измерена повторно. Тогда А_ср будет находиться по формуле

А_ср = ( А₁ + А₂ + А₃ + А₄ ) : 4

А_ср = ( 34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5 ) : 4 = 33,925 ≈ 33,9

Средняя величина должна иметь тот же порядок точности, что и измеряемые величины, следовательно, А_ср необходимо округлить до десятых долей. Найдем отклонение величин А от среднего значения ΔА = | А – А_ср |

ΔА₁ = | А₁ – А_ср | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6

ΔА₂ = | А₂ – А_ср | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1

ΔА₃ = | А₃ – А_ср | = | 33,9 – 33,9 | = 0

ΔА₄ = | А₄ – А_ср | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

Найдем среднее арифметическое значение отклонения величины – это будет абсолютная погрешность

ΔА = ( ΔА₁ + ΔА₂ + ΔА₃ + ΔА₄ ) : 4

ΔА = ( 0,6 + 0,1 + 0 + 0,4 ) : 4 = 0,275 ≈ 0,3

Относительная погрешность измерений ε = ΔА/А_ср ε = 0,3/33,9 х100% = 0,9%

Окончательный ответ: А = 33,9 ± 0,3; ε = 0,9%.

Очень важно, чтобы точность определяемой величины не превышала значение абсолютной погрешности, т.е. была округлена до десятых.

Количество измерений можно определить опытным путем и оно зависит от степени разброса экспериментальных данных. Например, мы проводим лабораторную работу с баллистическим пистолетом и определяем дальность полета шарика под разными углами к плоскости горизонта. Разброс расстояний, пролетаемых шариком при фиксированном угле наклона, достаточно широк. Определим минимальное число выстрелов, обеспечивающих наилучшую погрешность. Для этого произведем 10 выстрелов под углом 45⁰, для более точной фиксации места приземления используем коробку с песком, измерения расстояний выполняем измерительной лентой (цена деления 0,5см, погрешность 0,75см). Результаты опыта приведены в табл.3

N	ℓ, см	ℓср, см	Δℓ, см 1	Δℓ, см 2	Δℓ, см 3	Δℓ, см 4	Δℓср, см	ε, %
1 2 3	9,0 12,0 7,5	9,5	0,5 2,5 2,0	1,2 1,8 2,7	1,3 1,7 2,8	1,7 1,3 3,2	1,7	1,6
4 5	8,0 14,5	10,2	1,5 5,0	2,2 4,3	2,3 4,2	2,7 3,8	2,4	2,3
6 7	11,5 10,0	10,3	2,0 0,5	1,3 0,2	1,2 0,3	0,8 0,7	2,0	1,9
8 9 10	13,5 11,5 9,5	10,7	4,0 2,0 0	3,3 1,3 0,7	3,2 1,2 0,8	2,8 0,8 1,2	1,9	1,8

В третьем столбце средние значения рассчитаны для выборки 3, 5, 7 и 10 измерений, в IV – VII столбцах взяты отклонения от среднего значения для разных выборок, а затем для них рассчитаны Δℓ_ср и ε (абсолютная и относительная погрешность). Таким образом, результат последних двух столбцов определяет характер изменения погрешности в зависимости от числа опытов. По результатам, приведенным в табл.3, можно сделать вывод, что увеличение числа опытов от трех до 10 не уменьшает абсолютную погрешность искомого расстояния, которая составила 2см, а относительная погрешность для всех групп после округления дала 2%.

Таким образом, в дальнейшем для нахождения среднего значения измеряемой величины будем использовать 3 измерения.

3. Обработка результатов измерений

После проведения цикла измерений полученные результаты должны быть правильным образом оформлены в лабораторном журнале. Сама обработка результатов включает в себя три этапа: 1) составление таблицы измеренных величин и расчет их погрешностей, 2) построение графика (графиков), 3) анализ результата (проверка формулы или закона). Если составление таблицы не представляется сложным, а расчет погрешностей мы уже рассмотрели, то теперь следует остановиться на двух последующих пунктах. В качестве примера используем работу 10 класса «Исследование зависимости дальности полета снаряда от угла вылета». Эта работа проводится с помощью баллистического пистолета, имеющего указатель углов (0 – 90^о), погрешность измерения угла α составила 2 ^о, расстояния S - 2% интервал используемых углов 15 – 75 ^о с шагом 5 ^о, результаты измерений приведены в таблице

Табл.4

α,град	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
S, см	52	67	78	90	96	99	100	100	96	89	78	67	52

По результатам измерений построим график зависимости дальности полета шарика от угла наклона к горизонту. Анализ данного графика позволяет сделать следующие выводы: кривая является симметричной относительно прямой α = 45^о и

наибольшая дальность полета достигается при наклоне в 45^о, что согласуется с формулой S = v²sin2α/2g. Используя приведенную формулу, можно рассчитать начальную скорость вылета шарика: S(45^o) = v²/2g, тогда v_о = √2gS, v_о = 4,43м/с. Рассчитаем погрешность по формуле ε_v = ½ε_s + ctg2α^.ε_α для α = 45^о ctg2α = 0 ε_v = 0,01 = 1% Δv = 0,05м/с v_о = 4,43 ± 0,05 м/с. В качестве дополнительного задания данная работа предусматривает расчет по известной начальной скорости значения S для выбранных углов. Итак, график экспериментальной кривой должен снабжаться указанием погрешности («усиками») и использоваться для качественно проверки закона или формулы.

Рис.1 Зависимость дальности полета шарика от угла наклона к горизонту.

4.Измерение ускорения свободного падения

Поставим следующую задачу: используя методику, описанную в пунктах 1 – 3, определим условия получения наилучшей точности в измерении ускорения свободного падения, а также определим погрешность для различных условий проведения эксперимента (отличных от оптимального). В качестве переменных величин рассмотрим длину нити маятника, амплитуду колебаний, разные приборы для измерения времени.

Длина нити изменялась в пределах 0,25 ÷1,5м (наибольшее значение ограничивалось суммой высот лабораторного стола и штатива), в качестве груза использовался стальной шарик диаметром 1см. Время определялось тремя приборами: электронным секундомером (погрешность 0,1с), часами с секундной стрелкой (погрешность 1с) и песочные часы «Минутка» (погрешность измерения числа колебаний за 1мин составляла Δn = 0,5). Для первых двух приборов число колебаний составило 40 (увеличение числа колебаний до 100 не уменьшало погрешности). Песочные часы были использованы для сравнения с более точными приборами, чтобы показать возможность применения столь примитивного прибора для получения достоверных результатов в тех случаях, когда других часов нет либо недостаточно для работы всего класса. Формулы расчета

g и ε_g : g = (2π/T)²ℓ ε_g = ε_ℓ + 2ε_т π = 3,1416.

Нами рассчитаны теоретические значения погрешностей Δg для электронных часов и часов с секундной стрелкой при n = 20 и 40 колебаний для длин нити от 0,25 до 3м (измерительная лента, Δℓ = 0,75мм), которые могут быть использованы для проведения лабораторных работ с математическим маятником (n = 40 рекомендовано инструкцией).

Табл.5

ℓ,м	εℓ	эл.сек n=20, εт	эл.сек n=20,Δg,м/с2	эл.сек n=40, εт	эл.сек n=40,Δg,м/с2	часы n=40, εт	часы n=40,Δg,м/с2
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,00 2,50 3,00	0,03 0,015 0,01 0,0075 0,006 0,005 0,004 0,003 0,0025	0,001 0,007 0,006 0,005 0,0045 0,004 0,0036 0,0032 0,0029	0,4 0,2 0,16 0,12 0,1 0,09 0,07 0,06 0,05	0,0005 0,0035 0,003 0,0025 0,0022 0,002 0,0018 0,0016 0,0013	0,35 0,2 0,13 0,1 0,08 0,07 0,06 0,046 0,04	0,005 0,035 0,03 0,025 0,022 0,02 0,018 0,016 0,013	0,8 0,5 0,4 0,34 0,30 0,27 0,22 0,19 0,17

В следующей таблице приведены экспериментальные значение ускорения свободного падения для разных длин нити маятников (погрешности взяты из табл.5).

Табл.6

ℓ,м	электрон.секундомер, g,м/с2	часы с сек. стрелкой g,м/с2	песочные часы g,м/с2
0,25 0,50 0,718 0,905 1,455	9.9 ± 0,4 9,8 ± 0,2 9,9 ± 0,1 9,85 ±0,1 9,84 ±0,08	9,9 ± 0,8 9,8 ±0,5 9,7 ± 0,4 9,8 ± 0,3 9,8 ±0,2	10,3 ± 1 10,1 ±0,8 10,2 ±0,7 8,8 ± 0,4 8,8 ±0,3

Лучший результат g = 9,84 ±0,08м/с², конечно, близок к фактическому значению для наших широт

9,81м/с², однако, изучать степень отклонения поверхности земного шара от сферической с помощью маятника невозможно, т.к. даже при длине нити 3м (точка подвеса может быть закреплена на потолке), погрешность измерения все равно остается достаточно большой (0,05м/с²). Использование часов с секундной дает аналогичные значения g (9,8м/с²), но с втрое большей погрешностью. Результаты измерений с песочными часами следует признать удовлетворительными (9 ÷ 10 м/с²), поэтому их не следует сбрасывать со счетов.

Изучение зависимости ускорения свободного падения от амплитуды колебаний маятника (х) проводилось для длины нити 50см с использованием электронного секундомера. Результаты приведены в виде таблицы: t – время 40 колебаний, Т – период колебаний, sinα = х/ℓ.

Табл.7

N	х, см	t,с	T,с	g, м/с2	sin α	α, град
1 2 3 4 5 6	5 10 15 20 25 30	56,6 56,7 56,9 57,1 57,5 57,7	1,415 1,418 1,423 1,428 1,438 1,443	9,86 9,82 9,75 9,68 9,55 9,48	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6	6 12 18 24 30 37

Зависимость g(α) близка к линейной и вызвана уменьшением периода колебаний с 1,415с до 1,443с, что связано с влиянием сопротивления воздуха, которое в свою очередь зависит от скорости движения маятника (v_max = x_m√g/ℓ). Увеличение амплитуды колебаний до 15^о не сказывается существенно на результатах измерений искомой величины.

Нами также было измерено ускорение g путем измерения времени свободного падения с высоты h = 1,5м с помощью электронного секундомера, подключенному к размыкающему реле. Расчет, проведенный по формуле g = 2h/t², дал результат g = 9,6 ± 0,4м/с², что существенно уступает предыдущему методу (статистика составила 10 измерений). Здесь также сказывается влияние воздуха, а также малое время полета (≈0,5с), что обеспечило существенную погрешность.

Рис.2 Зависимость величины ускорения свободного падения от амплитуды колебаний маятника.

Заключение

В данной работе рассчитаны погрешности измерения ускорения свободного падения для различных длин маятника и разных по точности приборов фиксации времени. Изучена зависимость периода колебаний маятника от амплитуды колебаний. Наилучший возможный результат составил g = 9,84 ±0,08м/с², при использовании электронного секундомера и максимальной длины нити маятника. Однако близкие результаты с несколько худшей точностью достигаются с использованием обычных часов с варьированием длины нити и амплитуды колебаний в широких пределах.

Список литературы

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М. Просвещение,1988.

2. Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. – М.Наука.1966.

3. Измерения физических величин. /Под ред. О.Ф.Кабардина/. – М.Бином, 2005.

4. Физика (10 класс). /Под ред. Г.Я.Мякишева/. – М.Просвещение, 2022.

5. Физика (11 класс). /Под ред. Г.Я.Мякишева/. – М.Просвещение, 2022.

6. Физика для любознательных. Э. Роджерс. (т.1). – М.Мир, 1972.