Бессель функциялари бўйича функцияларни қаторга ёйиш

• Hosil qilingan integral matematik analizda Eyler ismi bilan bog’langan integral bo’lib , uning qiymati ga tengdir. Shunday qilib , B(a,1-a)= (1.1.7) agar hususiy holda , a=1-a= desak , B(,)= hosil bo’ladi.

Bessel funksiyalari . 1.Birinchi tur funksiyalari . Ushbu yoki tenglama Bessel tenglamasi deyiladi , bunda o’zgarmas son tenglamaning indeksi deyiladi . tenglamani gipergeometrik tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas . Buning uchun , , almashtirish bajarsak , tenglama hosil bo’ladi , va da tenglamaga ega bo’lamiz . Bu tenglama tenglama (Bessel) sining o’zginasidir . bo’lsin . Keyingi hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida tenglamada almashtirish bajaramiz . U holda z funksiyani aniqlash uchun tenglamaga ega bo’lamiz . Bu tenglamaning yechimini

• darajali qator ko’rinishida izlaymiz. Bundan hosil bo’lgan qatorlarni tenglamaga qo’yib , quyidagi tenglikni hosil qilamiz : Aniqmas koeffisentlar usuliga asosan , x ning barcha darajalari oldidagi koeffisentlarni nolga tenglaymiz: n=1,2,… Bundan

• , Sunday qilib, (1.3.2) tenglamaning yechimi , ushbu (1.3.4) qator bilan ifodalaniladi. Bunda - o’zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin . Dalamber belgisiga asosan , (1.3.4) qatorning x ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas . Darajali qatorni hadlab differensiallash (yaqinlashish oralig’i ichida) hamma vaqt qonuniy bo’lgani uchun (1.3.4) qator bilan ifodalangan z haqiqatan ham (1.3.2) tenglamaning yechimi bo’ladi. Odatda o’zgarmas

• deb tanlab olinadi . Ushbu . tenglikni e’tiborga olsak, z quyidagi ko’rinishda yoziladi : . tenglamaning yechimi funksiyadan iboratdir . Bu funksiyani orqali belgilab olamiz . Demak ,

• funksiya birinchi turdagi indeksli tartibli Bessel funksiyalari deyiladi. Ayrim adabiyotlarda bu funksiyalar silindrik funksiyalar deb yuritiladi. funksya Bessel tenglamasining yechimlaridan biridir . Hususiy holda bo’lganda bo’lganda esa umuman butun musbat larda

• Ixtiyoriy funksiyani Bessel funksiyalari bo’yicha qatorga yoyish . Turli indeksli Bessel funksiyalari orasidagi munosabatlar. Ixtiyoriy uchun ushbu formulalar o’rinlidir . Xuddi shunga o’xshash formulalar ikkinchi turdagi mos funksiyalar uchun xam to’g’ri bo’ladi . formula o’rniga uning ifodasini qo’yish natijasida darhol kelib chiqadi . Xaqiqatdan xam . Xuddi shunga o’xshash formula isbotlanadi . Agar formulada

• ni bilan almashtirib , tenglikka ega bo’lamiz . Avvalo ni kasr hisoblab , ni ga ni esa ga ko’paytirib , hosil bo’lgan ifodalarning birini ikkinchisidan ayiramiz . U holda formulalarni etiborga olsak , yoki tenglik hosil bo’ladi . da ni bilan almashtirsak

• formulaga ega bo’lamiz. Endi ni ga , ni ga ko’paytirib , ularni ayirsak tengliklarga asosan , kasr lar uchun formulaga ega bo’lamiz . Butun lar uchun formulalar ni butun songa intiltirib , limitga o’tish natijasida hosil bo’ladi . formulalarning natijasi sifatida quyidagi formulalar kelib chiqadi:

• Bu formulalarning birinchi ikkitasi , ni bevosita differensiallash natijasida , keyingi ikkitasi esa avvalgilarini qo’shish va ayirish natijasida hos bo’ladi. Xuddi shunday formulalar ikkinchi tur funksiyalar uchun xam o’rinli bo’ladi . 1 Bessel funksiyalarning ayrim xususiy xollari Matematik funksiyada ushbu , , , Bessel funksiyalari ko’p uchraydi . formulalarning oxiridan ko’rinayaptiki , va xakoza funksiyalarni xisoblash , funksiyalarning mos qiymatlarni xisoblashga keladi . Endi bunda n- butun son funksiyani qaraymiz.

• Xulosa . 1. Ayrim oddiy differensial tenglamalar, xususiy hosilali differensialga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda maxsus funksiyalarni o’rni aniqlanadi. 2. Eylerning 1-tur , 2-tur integrallari ( Beta - funksiya, Gamma-funksiyalar) maxsus funksiya sifatida qaralib , ulardan xosmas integrallarni hisoblashda , chegaraviy masalalarni yechishda qo’llanish doirasi aniqlandi va tekshirildi. 3. gipergeometrik yoki Gauss tenglamasi deb ataluvchi ushbu tenglamaning yechimi uchta: a, b, c parametrlarga bog’liq qator sifatida tasvirlangan va bu qatorning yaqinlashish sohasi topilgan . 4. gipergeomerik funksiyaning integral ifodasi keltirib chiqarilgan , shuningdek avtotransformatsiya formulasi ham o’rnatilgan . 5. birinchi turdagi Bessel funksiyalari Bessel tenglamasi deb ataluvchi ushbu : tenglamaning yechimi sifatida qaralib , uni qator ko’rinishida tasvirlangan va bu qatorni Dalamber alamati yordamida yaqinlashishga tekshirilgan . 6.Ikkinchi tur Bessel funksiyalari shuningdek Eyler o’zgarmasi qatnashgan Veber funksiyasi o’rnatilgan.

• IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR VA MANBALAR . 1. Салохитдинов М. Математик физика тенгламалари, Т. “Ўқитувчи” 2002. 2. АзларовТ . Мансуров Х . Математик анализ , 2-кисм Тошкент , «Ўкитувчи» , 1989. 1971. 3. Годунов С.К. Уравнения математической физики , Москва , «Наука» 1971.