Кластерный анализ

Костанайский государственный педагогический институт Естественно-математический факультет Кафедра физико-математических и общетехнических дисциплин

Дипломная работа

« Математическая модель кластерного анализа»

Выполнила: Едрисова А.С.

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент Калжанов М.У.

Актуальность

Использование математических методов кластерного анализа в общеобразовательной школе, с их практическим подтверждением.

Цель исследования

• Изучить основные математические модели кластерного анализа;
• Предложить алгоритм и основные этапы решения предлагаемых методов;
• Обосновать использование математических методов кластерного анализа в общеобразовательной школе;
• Изучить и обосновать использование математического пакета Statistica.
• Использовать методы кластерного анализа для решения практических задач, а именно задач встречающихся в общеобразовательной школе.

Предмет исследования

Математические методы и модели кластерного анализа.

Объект исследования

Использование и применение методов кластерного анализа в общеобразовательных школах.

Гипотеза исследования

Проследить динамику уровня успеваемости и микроклимата в коллективе.

Количество успевающих и отстающих по группам,

Определить психологическую совместимость учащихся в группах.

ЗАДАЧИ

применен теоретический материал по математическим методам кластеризации;

проведен анализ и алгоритм решения предлагаемых моделей в дипломной работе;

теоретически обоснован и экспериментально подтверждена эффективность предложенных методов с использованием пакета

Практическая значимость результатов заключается в том, что полученные теоретические знания применяются для исследования школьных коллективов, с целью составления кластеров по успеваемости и психологической совместимости учащихся, с возможностью прогнозирования.

Структура работы:

Кластерный анализ – это комплекс точных математических методов, специализированных на формировании "отдаленных" друг от друга групп «близких» между собой объектов по информации о расстояниях или связях (мерах близости) между ними.

Основные понятия

Объект - от латинского objectum – предмет-конкретный предмет исследования

Признак (англ. - variable - переменная.) - представляет собой конкретное свойство объекта

Расстояние между объектами - такая величина

Аксиомы метрики

• d ij 0 (неотрицательность расстояния)
• d ij = d ji (симметрия)
• d ij + d jk d ik (неравенство треугольника)
• Если d ij не равно 0, то i не равно j (различимость нетождественных объектов)
• Если d ij = 0, то i = j (неразличимость тождественных объектов)

В менеджменте - разбиение персонала на различные группы, классификация потребителей и поставщиков

В информатике - группировка результатов при поиске файлов, 

Применение

В археологии - систематизация каменных сооружений, памятников

В медицине - классификация симптомов

Методы кластерного анализа

Неиерархический

Иерархический

• Метод ближнего соседа.
• Метод наиболее удаленных соседей.

• Метод k-means

Метод ближнего соседа или одиночная связь.

Расстояние между двумя кластерами определяется расстоянием между двумя наиболее близкими объектами (ближайшими соседями) в различных кластерах.

Метод полной связи (метод дальнего соседа)

Метод дальнего соседа увеличивает число компактных кластеров. Этот метод применим для решения задач с большим количеством испытуемых.

Алгоритм k-means

Алгоритм k-means разделяет определенный набор данных на заданное пользователем число кластеров, k.

Это исторически один из самых важных алгоритмов интеллектуального анализа данных.

Пакет Statistica.

Пример № 1.

• Эксперимент был направлен на практическое подтверждение теории кластерного анализа.
• Эксперимент проводился на базе ГУ «Школа-гимназия № 3 отдела образования города Костаная.
• Экспериментом в общей сложности было охвачено 8 учеников 9 «В» класса.

Решение задач методом ближнего соседа.

Рассматривается малая группа учеников из 8 человек. У которых - это характеристика оценок по предмету алгебра, - это характеристика оценок учащихся по предмету геометрия. Данные приведены в таблице.

Аетова А.

3

Айсина М.

3

5

Аманбаев А.

4

4

Ахметова А.

4

4

Белова В.

5

Васильева И.

4

3

Галуза В.

4

3

4

Зиннатуллина А.

4

4

4

Средние значения учащихся по кластерам

Кластер 1

Алгебра

Кластер 2

4,3

Геометрия

4

3

3

Вывод: Применив метод ближнего соседа, получено два кластера. В первый кластер вошли 6 человека ( Зиннатуллина А., Галуза В., Ахметова А., Аманбаев А., Белова В., Айсина М.). Во второй 2 человека (Васильева И., Аетова А.). В первый кластер вошли ученики, у которых средний бал по предмету больше 4. Во второй кластер вошли учащиеся, у которых средний бал по предмету равен 3.

Решение задач методом дальнего соседа

Необходимо рассмотреть малую группу учащихся из 6 человек, которые прошли 6 различных теста.

Номер теста

Обозначение

1

2

Предмет теста

3

Память на числа

Математические задачи

4

5

Находчивость

6

Сотрудничество

Логические задачи

Командный дух

Имя

Жанибек

Нурадил

5

4

6

Айнагуль

7

7

8

Юля

6

8

Диана

5

9

5

8

Ольга

10

9

7

8

9

6

10

2

10

10

5

8

5

9

8

8

7

4

9

6

6

7

3

7

Вывод: Применив метод дальнего соседа получено два кластера. В первый кластер входят 2 студента (Диана и Юля), во второй 4 человека (Оля, Нурадил, Айнагуль, Жанибек).

Средние значения наблюдений по тестам в двух кластерах

Предмет теста

Кластер 1

Память на числа

Кластер 2

9,5

Математические задачи

9,5

5,25

Находчивость

Сотрудничество

9,5

5,25

8

6

Логические задачи

7

8

Командный дух

6,5

5,25

8,5

Решение задач методом K-средних

Необходимо рассмотреть малую группу из 9 учеников. Значения , , - оценки учащихся за I четверть по предметам: алгебра, геометрия, информатика.

Ученик/

предмет

Аетова А.

3

Айсина М.

3

Аманбаев А.

5

4

5

4

Ахметова А.

5

4

4

Белова В.

4

5

Васильева И.

4

4

Галуза В.

5

3

5

4

Карпыков С.

3

5

4

3

Киколенко Ю.

5

5

3

4

5

5

Вывод : Методом K-means получено три кластера. В первый кластер вошли ученики: Аманбаев А., Ахметова А., Галуза В. У данных учеников оценки по предметам « Алгебра » и « Геометрия » 4, по предмету информатика видно, что оценки лучше у всех членов трех кластеров.

Во второй кластер вошли Айсина М., Белова В., Киколенко Ю. У данных учеников оценки по алгебре и информатике одинаковые, и выше чем по геометрии.

В третий кластер вошли Аетова А., Васильева И., Карпыков С. У них оценки по алгебре и геометрии низкие и равны оценке « 3 » , но по информатике « 4 и 5 » .

Выводы