Математика сабағында теорияның практикамен байланысы

Білім анасы – еңбек. Ол төрт аяқты тағыны екі аяқтыға айналдырды, қолымен қозғап, миымен ойлап, тілімен сөйлейтін етті. Еңбек үстінде туған практикалық білімдер әкеден балаға мирас болып, ғасырлар бойы қорланып, ғылым сарайын құрастырды. Сол сарайдың асыл мұраларының бірі болып саналатын математика ғылымы да өмір жолымен тығыз байланысты. «Математика» гректің ғылым, ілім сөзінен алынған. Математика жүйеленген, орнықты, үнемі дамуда болатын және мазмұны ғасырлар бойы өзгеріске ұшырамаған ғылым. Мысалы, «Евклид геометриясы», «Пифагор теоремасы», «Пифагор сандары», «Архимед аксиомасы» тағы басқа еңбектер математиканың тарихы қалыптасуын сипаттайды және оның құдіреттілігінің бір көрінісі болып табылады. Математиканың заңдары мен ережелері табиғаттан, өмірден алынған және бүкіл адамзатқа ортақ!

• Галилео Галилей «Табиғат деп аталатын ұлы кітаптың тілі – математика. Ол тілдің әріптері – үшбұрыш, доға» деуі мәңгілік қала бермек. Енді математиканың бір саласы геометрияға біраз тоқталып өтейік. Ерте заманнан сақталып қалған жазба мұра жоқ, бірақ көпшіліктің пікіріне қарағанда геометрия ғылымын мысырлықтар шығарған, олар геометрияға жер участоктарын өлшеу ережелері арқылы келген. Бұл ғылымның өмір талаптарынан, қажетінен туғандығында таңқаларлықтай жағдай жоқ, ғылымдардың бәрі де әуелі сондай қажеттіліктен туады, содан кейін өркендейді

• Дүниеде сезімнен ақылға, ақылдан білімге апаратын табиғи жол бар. Айтушылардың сөзіне қарағанда ғылымның бұл саласын жоғары тұрғыдан зерттеп, түзетулер енгізіп, үлкен ғылымға айналдырушы Пифагор болған. Оның ең басты еңбегі – Пифагор теоремасы. Пифагор теоремасы қысқаша былай айтылады.: Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең болады. Орта ғасырлардағы мектептерде Пифагор теоремасын жыл бойы жаттайтын болған, сонда жаттай-жаттай жалыққан шәкірттер былай деп әндетіп те қояды екен:
• Пифагордың шалбары,
• Соңымыздан қалмады.
• Ышқыры кең ауы тік
• Бір балағы тардағы.

• Тарихи деректерге қарағанда тік бұрышты үшбұрыштың Пифагор теоремасында айтылған қасиеті ерте замандарда-ақ белгілі болған. Пифагор оны Мысыр мен Вавилоннан біліп қайтқан. Мысыр құрылысшылары пирамида салғанда бұрышты тік етіп шығару үшін 12 түйіншегі бар жіңішке арқандарды пайдаланған, түйіншектердің аралықтары бірдей болған. Бір адам арқанның ұшын ұстап, ал екінші адам үшінші түйіншекті ұстап, үшінші адам өзі жетінші түйіншекті ұстап, арқанның екінші ұшын бірінші адамға беретін болған. Сонда қабырғалары 3,4,5 үшбұрыш пайда болып, тік бұрыштың төбесі екінші адамның қолына келетін болған. Қабырғалары 3,4,5 бірлік үшбұрыштың «Мысыр үшбұрышы» деп аталуы содан. Вавилонда да осыған ұқсас тәсілдер болған. Бірақ бұл қасиетті мысырлықтар да, вавилондықтар да дәлелдей білмеген. Математика тарихшыларының зерттеулері бойынша теореманы алғаш рет Пифагор дәлелдеген. Сөйтіп, Пифагор теоремасы ерте замандардан бері қолданылып келе жатыр, ол – ежелгі Мысыр мен Вавилон мәдениетінің куәсі, алып пирамидалардың құрдасы. Математиканың өмір қажеттілігінен туындағандығы, теорияның практикамен байланысын нақты көрсететін мысалдарға тоқталып өтейік.

• Мысалы, Қоршау үшін 2 метрлік және 3 метрлік шарбақтар қажет. Олардың бағасы сәйкесінше 50 теңге, 70 теңге. Қоршау ұзындығы 20м. Болу үшін қанша шарбақтан қанша алу керек.
• Шешуі:
• 1. 2 метрлік- 10-ы 2м*10=20м
• 10*50 теңге = 500 теңге
• 2. 3м – 6-уы 3м*6=18м
• 20
• 2м – 1-уі 2м*1=2м
• 6*70 теңге=420 теңге
• 1*50теңге=50 теңге
• 420+50=470 теңге
• 3. 2 метрлік – 7-уі 2*7=14 м
• 20м
• 3 метрлік – 2-уі 3*2=6 м
• 7*50=350 теңге
• 2*70 т =140 теңге
• 350+140 = 490 теңге

• 4. 2 метрлік – 4-уі - 8 м
• 20м
• 3 метрлік – 4-уі 12м
• 4*50т = 200 теңге
• 4*70 = 280 теңге
• 200+280 = 480 теңге
• Ең аз ақша жұмсалу үшін
• 3 метрлік – 6
• 2 метрлік – 1
• Алу керек екенін көруге болады.
• Ал енді метрлік темір тор болған жағдайда бақшалық жердің периметрін, яғни Р = 2(а+в) есептеп метрлей сатып алады: Мысалы, а = 20м, в = 30м болса Р = 2(20+30) = 2*50 =100м
• Егер метрі 200т-н болғанда 100м*200т = 2000т
• Сатып алу бағасы 2000т

• Енді туынды теориясының өмірмен, практикамен байланысын қарастырайық. Туынды тек жылдамдық пен үдеуді ғана анықтау есептерін емес басқадай физикалық шамаларды табу тәсілдеріне қолдануға болады. Төмендегідей есептерді қарастырайық
• 5-есеп Әйтеуір бір ғана дене температурасының уақытқа тәуелділігі Т(t) = 198t+2t 2 -2/3t 3 заңдылығымен анықталады t=5 минуттан кейінгі температураның өзгеру жылдамдығын анықтаңдар.
• Шешуі: Температураның өзгеру жылдамдығын dT/dt=T′(t) арқылы анықтаймыз, сонда T′(t)=(198t+2t 2 -2/3t 3 )=168
• T (5)= 168 град/мин;
• Жауабы: 5 минуттан кейінгі температура өзгерісі 168 градус

• Сұранысқа ие болған қандай да бір заттың бағасы мына Р=10-2х формуласымен анықталады:
• Мұндағы х сұраныс
• Р бағасы
• Сатылған заттың түсімі
• U=x*p=x*(10-2x)=(10x-2x2) 2= шектеуші немесе нақты түсімді табу үшін U′=(10x-2x2) ′=10-4х
• Егер х=2 болса онда
• U(2)=10-4*2=10-8=2
• Бұл, егер сұраныс 2 және 3 бірлікке өсетін болса, түсім де 2 бірлікке өседі дегенді көрсетеді.

• Бұдан бір жарым ғасыр бұрынырақ қазақта Сегіз-сері (шын аты: Мұхамед-Қанапия (1808-1854)) деген арқалы ақын әрі айтулы әнші өмір кешкен. Ол әуелі, Қызылжар шаһарында медресені, сонан кейін Омбы қаласындағы орыс тілі тілмашын дайындайтын Азия мектебін тәмәмдаған. Сөйтіп Сегіз-сері өз заманында арабшаға әрі орысшаға бірдей жетік қазақ зиялысы болғанын көреміз. Оның «Ақбай», «Ақбұлақ», «Алқоңыр», «Гауһартас», «Ғайни», «Әйкенай», т.с.с өлеңдері күні бүгінге дейін құлақтан кіріп бойды алатын ойлы да күйлі әсем әуендер қатарына жатады. Сегіз-серіні қазақтан шыққан тұңғыш этногроф білімпаз Шоқанның әкесі Шыңғыс Уәлиханов зор құрмет тұтқан. Сол себепті Шыңғыс өз ұлы Шоқанға Сегіз-серінің шын атын (Сегіз-сері және Шоқанның әуелгі азан айтып қойған аты – Мұхамад-Қанапия) қойған. Сегіз-сері ақын «Қозы Көрпеш Баян сұлу» хикаясын өз төтесінен жыр етіп таратқан. Ол бұл кезде 20 жаста болатын. «Қозы - Баян» дастанында этнологиялық және этноматематикалық есеп-мысалдар көптеп кездеседі. Мысал: «Қозы – Баян шоқтерегі» туралы есеп. Қозы – Баян қорымы маңындағы Тараулы аулының адамдары ондағы байырғы «Қозы – Баян шоқтерегі» орнында өскен бүгінгі талтеректі көрсетіп бере алады. Біз оны шартты түрде модель-талтерек деп атадық. Тапсырма: Сол «модель» - талтеректің биіктігін табыңыз.

• Ескертпе: Жер бетінде тік тұрған зәулім нәрселердің (Теректің, қаданың, бағанның, мұнараның т.с.с биіктігін есептеп табуда қолданатын бірнеше халықтық әдістер бар. Соларды заманында көне түркілдерден шыққан зерек ойшылдардың қолдануы да ықтимал. Біз сондай халықтық әдістің бірнешеуіне тоқталамыз.
• Шешуі: 1-тәсіл. Талтеректің Х биіктігін оның көлеңкесі бойынша анықтау.
• Фалес әдісі.
• Фалес Милети (б.ғ.д, 625-545жж) – Ежелгі гректерден шыққан жеті данышпанның бас данышпаны, бірінші математик.
• Ұзындығы адам бойына тең болатын ав=к таяқ дайындап оны ав||АВ болатындай етіп жазық жерге қадаңыз.
• Ав таяқтың көлеңкесі вс=m- ді және АВ терек көлеңкесі ВС=n-ді анықтаңыз.
• 3) ∆АВС=∆авс , Үшбұрыштардың ұқсастық белгісі бойынша
• АВ/ав = ВС/вс немесе х/к = n / m ;
• Xm = kn бұдан x = kn / m ;
• Жауабы: х = kn / m ;

C

• 2-тәсіл. (Жюль Верн әдісі)
• Жюль Верн (1828-1905жж) – Француз жазушысы. Ғылыми көркем әдебиет дүниесінде ғылыми-фантастика жанрының жаңа үлгісін жасап, негізін қалаушы. Оның «Он бес жасар капитан», «Капитан Гранттың балалары», «Сырлы арал», «Айға саяхат» т.с.с романдары қазақ жастарына да талайдан мәшһүр болған шығармалар. Жюль Верннің әйгілі «Сырлы арал» романының бас кейіпкері инженер С.Смит адам баласы баспаған аралдағы тікпе тік – құз жартастың АВ=х биіктігін ешқандай өлшеу құралының көмегінсіз, математикалық пайымдау жолымен дәлме-дәл анықтайды. С.Смит пайымдауларын Ж.Верн әдісі деп атайды.

• Тапсырма. Жюль Верн әдісін пайдаланып жартастың (талтеректің), кесене мұнарасының АВ=х биіктігін тап.
• Ж.Верн әдісі:
• Шешу жолы:
• АВ тік жартастан кісі бойына тең ав қадаға дейінгі Аа=к қашықтықта ұзындығы кісі бойына тең ав таяқты ұшына тас байлаған тіктеуіш жіптің жәрдемімен жазық жерге тігінен қадаңыз. Соңында ав ||АВ
• Қағылған ав қада түбіне 2-суретте көрсетілгендей етіп шалқаңыздан жатыңыз да таяқтың жоғары ұшы (в) және жартастың ұшар басы (В) көзбен нысаналап қарағанда бір түзу бойында көрінетіндей жерге дейінгі (Д) біртіндеп сырғыңыз.
• аД= n қашықтықты табыңыз. Сонда аА=к, аД=к+ n.
• ∆ ВАД ~∆ваД
• Осыдан АВ/ав=АД/ад; немесе х/ m = k + n / n ;
• X*n=m(k+n)/n;

• 3-тәсіл (Айнаны пайдалану әдісі)
• Талтерек, кесене мұнарасы т.с.с тұрған нәрселер биіктігін кішкене қол айнаны және физика пәнінен белгілі айнадағы шағылу ережесін пайдаланып табуға болады.
• АВ талтеректен ВС=а қашықтықтағы жазық жерге С айна қойыңыз.
• С нүктеден 3-суретте көрсетілгендей тәртіппен АВ теректің А жоғары ұшы айнадан көрінгенше Д нүктеге дейін шегініңіз.
• ВС=а, СД=в, ЕД=с ұзындықтарды анықтаңыз.
• ∆ АВС~∆СДЕ Бұдан
• АВ/ЕД=ВС/СД немесе х/с=а/в
• хв=са х=ас/в; Жауабы х=ас/в

• 5-мысал. (Қодар құдығының тереңдігі)
• «Қозы-Баян» жырының бірнеше нұсқасында айтылғандай Қозыны Шоқ терек түбінде атып өлтірген күнәһар жауыз Қодар Баянның пышақпен қиған бұрымына маталған қалпында өзі қазған шыңырау құдықтың түбіне домалап құлайды. Осы дәйектеме негізінде мынадай мазмұнды пайымдамалық есеп ұсынамыз.
• Қодардың (қандай да бір заттың) құдықтың түбіне соғылған дыбысты бақылаушының құлағына Қодар құлаған сәтте 5 секунд өткенде келіп жеткен
• Тапсырма. Осы берілімді және механикалық қозғалыстың ережесін пайдаланып Қодар құдығының тереңдігін тап.

• Шешуі:
• 1) Қодар құдыққа құлаған сәтте оның Vo – бастапқы жылдамдығы жоқ, яғни Vo = 0 деп қарап, мына формуланы пайдаланамыз. S= Vot+gt 2 /2 (1) мұндағы S- жол, Vo – бастапқы жылдамдық t – уақыт g=9.8 м/сек 2 – еркін құлаған дене үдеуі
• 2) Есеп шарты бойынша S=h, Vo=0, g=9.8м/сек 2
• Сондықтан (1)-формуладан мынау шығады.
• h=4.9t 1 2 (2)
• 3) Дыбыс ауасыз кеңістікте V=330м/сек бір қалыпты жылдамдықпен тарайды. Демек h=330t 2 (3)
• 4) h-жолды (құдықтың тереңдігін) жүруге кеткен уақыт t 1 +t 2 =5 (4)
• 5) Алыдыңғы (2), (3) және (4) теңдіктерден мынадай теңдеулер жүйесі түзіледі.
• 4,9 t 1 2 =330t 2
• t 1 +t 2 =5 (5)
• 6) Екі белгісізі бар (5) теңдеулер жүйесін шешіп, t 1 мен t 2 -лерді табамыз. Содан соң (2) және (3) формулаларды пайдаланып h-ты табамыз
• 7) Есептің жауабы: Қодар құдығының тереңдігі h≈100м болған екен.

• Математикалық есептеулер құрылыста да қолданылады. Үйдің төбесіне салатын арқалық (балка) ағаштың беріктігін есептеу керек. Q сол арқалықтың (балкаға) түсетін салмақ:
• h
• в
• арқалықтың көлденең қимасының ауданы S=b*h
• Арқалыққа түскен күштің әсерінен иілу моменті пайда болады, оны М=q*l2 /8 формуласымен есептейді. Арқалықтың беріктігін мына формуламен есептеп табады.
• σ=Мmax/w * σ≤R
• «Ақыл-ойды тәртіпке келтіретін математика» деген ұлағатты сөзді өсиет етіп қалдырған ұлы ғалым М.В.Ломоносов болатын. Өмірдің барлық саласында математиканың алатын орны ерекше. Сондықтан да жүйелеп оқып, шәкірт санасына талдап жеткізе білейік.

“ Техникалық пәндер және жаратылыстану” циклының “Таңғажайып жаратылыс иелері” атты апталықтың өткізген іс-шаралары: