Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Задачи на НОД и НОК чисел

Цель обучения:

5.1.1.7

знать определения понятий общий делитель, общее кратное, наибольший общий делитель (НОД) и наибольшее общее кратное (НОК);

5.1.2.12

находить НОД и НОК двух и более чисел;

5.1.1.8

знать определение взаимно простых чисел;

5.5.1.2

использовать НОД и НОК при решении текстовых задач ;

Притча

• "Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: "Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: "Скажет живая – я ее зажму в руках, и она умрет, скажет мертвая – выпущу”.
• Как вы думает, что ответил мудрец?
• Мудрец, подумав, ответил: «…………..».

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

• Найдите НОД и НОК чисел 8 и 12 методом перебора.
• Решение: выпишем делители меньшего числа. Почему меньшего?
• Д (8)=  1,2,4,8  проверим являются ли эти числа делителями числа 12; проверяем с наибольших делителей.
• 12 не делится на 8 ; 12 делиться на 4
• НОД (8;12 )=4
• Выпишем кратные большего числа. Почему большего ?
• К (12) =  12, 24, 36, 48, 60, …  Проверим являются ли эти числа кратными 8. Начнем с наименьшего кратного.
• 12 не делиться на 8 ; 24 делиться на 8
• НОК(8;12) = 24
• Чему равно произведение НОД и НОК этих чисел ? 4·24 = 96
• А чему равно произведение чисел a и b ? 8·12 =96

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b.

• Найдите НОД и НОК чисел 252 и 264 методом разложения на простые множители .
• Решение :
• 252 2 264 2 Признак делимости на 2 .
• 126 2 132 2 Признак делимости на 3.
• 63 3 66 2
• 21 3 33 3
• 7 7 11 11
• 1 1
• А какие еще признаки делимости мы знаем ?
• 252 = 2²·3²·7 264= 2³·3·11
• НОД(252 ; 264) = 2²·3 = 12 С какими показателями мы берем степени? (с наименьшими).
• НОК(252;264) = 2³·3²·7·11= 5544 С какими показателями мы берем степени? (с наибольшими).

Задачи на НОД

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты.

Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

Решение:

1) S= a ∙ b – площадь прямоугольника.

S= 48 ∙ 40 = 1960 см². – площадь картона.

2) a – сторона квадрата

48 : a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона.

40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона.

3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата.

4) S = a² – площадь одного квадрата.

S = 8² = 64 (см².) – площадь одного квадрата.

5) 1960 : 64 = 30 (количество квадратов).

Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый.

Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата.

Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?

Решение:

1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см²) – S поверхности камина.

2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки.

3) S = a² = 39² = 1521 (см²) – площадь 1 плитки.

4) 30420 : = 20 (штук).

Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см).

Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы.

Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?

Решение:

1) P = 2( a + b) – периметр участка.

P = 2(54 + 48) = 204 м.

2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами.

3) 204 : 6 = 34 (столба).

Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м.

Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15.

Сколько яиц купила Маша?

Решение:

НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц)

Ответ: Маша купила 30 яиц.

Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см.

Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную?

Решение:

1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок).

2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки.

S = 16 ∙ 20 = 320 (см²) – площадь дна 1 коробки.

3) 320 ∙ 80 = 25600 ( см²) – площадь квадратного дна.

4) S = а² = а ∙ а

25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика.

Ответ: 160 см- сторона квадратного дна.

Физминутка

Рефлексия

Мне всё понятно. Вопросов нет.

Я строил храм.

Мне ничего не понятно.

Я таскал проклятые камни.

У меня есть вопросы.

Я добросовестно

выполнял свою работу