Презентация для занятия по теме "Функция нескольких переменных"

ГБОУ СПО «Сызранский механико-технологический техникум»

Функция нескольких переменных

Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева

Функция n переменных.

Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t , если каждой системе значений x,y,z,…,t, из области их изменений (области определения),

соответствует определенное значение u .

Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.

Для функции двух переменных z=f(x,y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости , а для функции трех переменных

u = f (x,y,z) – некоторую совокупность точек пространства .

Функция двух переменных

Функцией двух переменных  называется  закон ,

по которому каждой паре значений независимых переменных   x,y  ( аргументов ) из  области определения   соответствует значение зависимой переменной  z  ( функции ).

Данную функцию обозначают следующим образом:

z = z(x,y)   либо z= f(x,y) ,

или же другой стандартной буквой:  u=f(x,y) , u = u (x,y)

Геометрический смысл функции 2-х переменных  .

Если функции

одной переменной                соответствует определённая линия на плоскости (например,                         – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных                                      располагается в трёхмерном пространстве.

На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (прямые) либо даже единственную точку.

Областью определения функции двух переменных                   

  называется множество всех  пар           , для которых существует значение     .

Графически область определения представляет собой  всю плоскость            либо её часть .

Так, областью определения функции                                является вся координатная

плоскость           – по той причине, что  для любой  точки            существует значение    .

Нахождение области определения функции двух переменных.

При выяснении  области определения     обращаем особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. 

Найти область определения функции                                                    

Решение : 

так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ : вся координатная плоскость                      

кроме точек, принадлежащих прямой                              

y

5

x

0

5

Найти область определения функции 

Решение :

подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ : полуплоскость                           

x

y =

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Решение : 

подкоренное выражением должно быть неотрицательным:                                              

и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим

Уравнение                                определяет  окружность  с центром в начале координат радиуса           ,

которая делит координатную плоскость на  две  части – «внутренность» и «внешность» круга.

Так как неравенство у нас  строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения

и поэтому её нужно провести  пунктиром .

y

-

x

-

Ответ : внешняя часть круга                                     

Частные производные, геометрический смысл.

Частное приращение по одному из аргументов

Если одному из аргументов функции  z = f(x,y)  придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит  частное приращение по одному из аргументов:            

                          – это частное приращение функции z по аргументу x;

                                           – это частное приращение функции  z  по аргументу  у . 

Частной производной функции нескольких переменных  по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: 

                         – это частная производная функции z по аргументу  x ; 

                         – это частная производная функции  z  по аргументу  у . 

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному

из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать

постоянными и проводить дифференцирование

по правилам дифференцирования 

Частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример .

Найти частные производные функции

2

x-2y

z=x e 

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Частная производная  

от функции   в точке  

равна тангенсу угла, составленного осью    и касательной

к линии  , проведенной в  .

Полное приращение функции 2-х переменных

Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Определение дифференцируемой функции

Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде

где Δ x и Δ y -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δ x и Δ y , o ( ρ ) -бесконечно малая более высокого порядка, чем

-расстояние между М ( х,у ) и

Определение дифференциала

Главная линейная относительно Δ x и Δ y часть полного приращения функции

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df ( x , y ) . Таким образом, .

Формула для вычисления дифференциала

Если функция дифференцируема

в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные

производные и , причем

= А, а =В .

Таким образом,

.

Если положить , то