Презентация уроков по теме:"Делимость чисел"

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». Н. Е. Жуковский.

“ Математика-6”

Выполнил а учител ь математики

общеобразовательной школы

I -III ступеней №120

Кориненко Елена Викторовна

Донецк, 2016

Содержание

• Делители и кратные натурального числа.
• Признаки делимости на 10, на 5 и на 2.
• Признаки делимости на 9 и на 3.
• Простые и составные числа. Разложение чисел на простые множители .
• Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.
• Наменьшее общее кратное (НОК).
• Контрольная работа.

Цель:

• расширить знания учащихся о свойствах деления натуральных чисел; формировать понятия «делитель», «кратное»;
• учить делать выводы и сравнения;
• приучать к аккуратным записям в тетрадях и правильной самооценке.

Задача 1.

20 яблок необходимо разделить поровну между 4 мальчиками. Сколько яблок получит каждый мальчик?

20:4 = 5 (яблок) - получит каждый .

Задача 2.

Разделите поровну 20 конфет между 5 девочками. Сколько конфет получит каждая девочка?

20:5 = 4 (конфет) - получит каждая девочка.

Задача 3.

Разделите поровну 40 конфет на 6 детей. Сколько конфет получит каждый ребенок?

40:6 = 6 и 4 в остатке. - по 6 конфет получит каждый ребенок.

Делители

На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов, так чтобы не осталось лишнего?

на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 18, на 36.

Числа 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36 без остатка делят натуральное число 36.

В задачах 1 и 2 числа 4 и 5 без остатка делят натуральное число 20.

Подумайте, как одним словом назвать все натуральные числа, которые делят без остатка другое натуральное число.

Определение

Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

Число 6 для числа 40 не является делителем, так как 40 на 6 без остатка не делится.

Определение

Кратным натурального числа а называют натуральное число b , которое делится без остатка на а .

Если a , b и c – натуральные числа и a = b * c , то

a делится на b ,

a кратно b

b – делитель а

Задание. Найти все делители и кратные числа 12.

делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

кратные: 12, 24, 36, 48, ....

Сравним.

Сколько может быть делителей? Сколько кратных?

Какой наименьший делитель? Наименьшее кратное?

Самостоятельная работа с последующей проверкой

1. В каждой коробке лежат 6 чайних ложек. Можно ли не разкрывая коробки, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек.

2. Верно ли, что

5 - делитель 45;

16 - делитель 8;

17- делитель 152;

27 - кратно 3;

6 - кратно 12;

156 - кратно 13.

3. Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются:

а) делителями 20;

б) кратными 4;

в) делителями 16 и кратными 4;

г) кратными 3 и делителями 16.

• а) делителями 20; б) кратными 4; в) делителями 16 и кратными 4; г) кратными 3 и делителями 16.
• а) делителями 20; б) кратными 4; в) делителями 16 и кратными 4; г) кратными 3 и делителями 16.

Цель:

• систематизировать знания учащихся о признаках делимости на 10, на 5 и на 2;
• учить обобщать и делать выводы;
• воспитывать ответственность за выполнение работы.

1. Найдите частное от деления чисел:

280 : 10; 24600: 10; 30:10;

234 : 10; 2345 : 10; 350: 10.

Вывод.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

2. Найдите частное:

873 : 5; 4675 : 5; 4570 : 5; 987 : 5;

350: 5; 24600:5; 234 : 5; 280 : 5.

Вывод.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

• 4578 0 , 638 0 , 78 0 , 400 0 , 56034 0 , 7893462097 0 .

Эти числа делятся на 10 и на 5 .

• 679 0 , 678 0 , 24 5 , 890 5 , 783 0 , 769 5 , 8970 5 , 3458 0 .

Эти числа делятся на 5 , но не все из них делятся на 10 .

• 78 4 , 694 3 , 789 6 , 410 9 , 7805 4 , 9785674 4 , 2410 9 .

Эти числа не делятся на 5 и не делятся на 10 .

Найдите частное:

34:2; 33:2; 40:2;

41:2; 22:2; 25:2;

486:2; 58:2 582:2.

Вывод.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), то это число делится нацело на 2.

• 67537 0 , 590 2 , 658 4 , 579 6 , 904956 8 . Эти числа делятся на 2.

• 657 1 , 784 3 , 6789 5 , 90455 7 ,987658 9 .

Эти числа не делятся на 2.

0,2,4,6,8 – чётные цифры.

1,3,5,7,9 – нечётные цифры.

1. Как по записи натурального числа определить, делится оно без остатка на 10, на 5, на 2.

2. Придумайте три числа, которые:

а) делятся на 2;

б) делятся на 5;

в) делятся и на 2 и на 5.

3. Назовите:

• два четных числа, кратных 5.
• два нечетных числа, кратных 5.
• два четных числа, которые делятся на 5.
• два нечетных числа, которые не делятся на 5.

• 6797895, 6) 89654,
• 4090, 7) 7890,
• 34582, 8) 8956 08 ,
• 9805, 9) 678471,
• 12766, 10) 8733.

Ответ: 2),3),5),6),7),8).

Цель:

• ознакомить учащихся с признаками делимости на 9 и на 3;
• учить обобщать и делать выводы;
• воспитывать умение работать в группах .

• Числа: 76455, 64575, 55647 делятся на 9(на 3) , так как сумма их цифр ( 6 + 4 + 5 + 7 + 5 =27) делится на 9(на 3) .

• Числа: 57083, 30875, 80537 не делятся на 9(на 3) , так как сумма их цифр ( 5 + 7 + 0 + 8 + 3 =23) не делится на 9(на 3).

Определение

• Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9 ;
• Если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 .

• Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ;
• Если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 .

Замените звёздочки цифрами так, чтобы числа делились

а) на 3, б) на 9.

1)2*5, 2)46*, 3)*14.

ОТВЕТЫ:

а) 1) 2;5;8, 2) 2;5;8, 3) 1;4;7;

б) 1) 2; 2) 8; 3) 4.

Среди данных чисел 31, 70, 265, 42, 297, 404 выбрать те, которые делятся на

а) 2, б) 5, в) 10, г) 3, д) 9.

ответ:

а) 70;42;180;404;

б) 70;180;75;

в) 70;180;

г) 42;180;729;561;75;297

д) 180;729;297.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:  3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3.

Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.

Наконец, это число делится на 11, так как суммы его цифр, стоящих на чётных местах (3 + 8 + 1 = 12)  и суммы цифр, стоящих на нечётных местах (7 + 0 + 5 = 12)  равны.

Но это число не делится на  2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

Математический диктант

Проверьте себя:

Верно ли что:

1)

НЕТ

142 : 6

2)

ДА

735 : 15

3)

ДА

70 : 14

4)

ДА

630 : 21

5)

ДА

2316 : 12

6)

НЕТ

5310 : 20

Цель:

• формирование понятий “простое число”, “составное число”, ознакомление с разложением числа на протые множители;
• развитие умений учащихся классифицировать натуральные числа в зависимости от количества делителей;
• воспитывать ответственность за выполнение работы.

Задание. Назовите сколько делителей имеют числа

а) 2, 5, 7, 11, 13;

Ответ: Делители числа 2: 1 и 2. Делители числа 5: 1 и 5. Делители числа 7: 1 и 7. Делители числа 11: 1 и 11. Делители числа 13: 1 и 13.

б) 6, 15, 49, 1000

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Делители числа 49: 1, 7, 49. Делители числа 1000: 1, 10, 100, 1000.

в) число 1.

Ответ: Делители числа 1: 1.

Натуральное число называется простым , если оно имеет только два различных натуральных делителя: единицу и само это число .

Натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей, называют составным .

Число 1 не считают ни простым, ни составным числом, так как оно имеет только один делить.

• Назовите наименьшее простое число.
• Наибольшее простое число.

Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

  47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

  103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

  157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей.

Например, 

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,   

225 = 3 · 3 · 5 · 5,  

1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере.

Произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

Например:

18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 3 2

80 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 2 4 ∙ 5

81 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 4

200 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 = 2 3 ∙ 5 2

Разложить на простые множители число 2940.

• 2940 кратно 2, 2940 : 2 = 1470;
• 1470 кратно 2, 1470 : 2 = 7354
• 735 не кратно 2, но кратно 3, 735 : 3 = 245;
• 245 не кратно 3, но кратно 5, 245 : 5 = 49;
• 49 не кратно 5, но кратно 7, 49 : 7 = 7;
• 7 кратно 7, 7 : 7 = 1.

2940 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 = 2 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 2

2940 │ 2  1470 │ 2    735 │ 3

    245 │ 5

49 │ 7

7 │ 7

1 │

Самостоятельная работа

• Укажите все простые числа, которые удовлетворяют данному неравенству:

а) 11 х 19; б) 23 х 37.

• Среди данных чисел указать составные:

а) 47; 63; 71; 101. б) 29; 61; 72; 103.

• Разложить числа на простые множители:

а) 14; 765 б) 15; 324

• Разложением какого числа на простые множители является произведение:

а) 2 ∙ 3 2 ; б) 2 3 ∙ 5?

• Чему равно частное от деления:

а) числа 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 на число 3 ∙ 13 ∙ 19;

б) числа 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 23 ∙ 37 на число 2 ∙ 3 ∙ 37

Цель:

• формирование понятий “наибольший общий делитель”, “взаимно простые числа”, ознакомление с алгоритмом поиска НОД;
• развитие памяти, внимания, умения самостоятельно решать задания ;
• Прививать познавательный интерес к математике.

Найти делители чисел 36, 60, 42.

Делители числа 36: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Делители числа 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Делители числа 42: 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Ответ: 2, 3, 6

Какие делители являются общими?

Назовите наибольший делитель.

Ответ: 6

  Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них.

Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6.

Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6.

Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо :

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей , например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей :

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,

3)  выписать все общие делители ( множители ) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени. 

П р и м е р .  Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е .    НОД (168; 180; 3024)

Разложим каждое число на простые множители:

168 | 2 180 | 2 3024 | 2

84 | 2 90 | 2 1512 | 2

42 | 2 45 | 3 756 | 2

21 | 3 15 | 3 378 | 2

7 | 7 5 | 5 189 | 3

1 | 1 | 63 | 3

21 | 3

7 | 7

1 |

168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3   · 3  · 7 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2   · 3 2   · 5 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4   · 3 3   · 7 .

Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3 и перемножим их:

НОД = 2 2   · 3  = 12 . 

Найти НОД (585; 616).

Решение. Разложим данные числа на простые множители: 585 | 5 616 | 2 117 | 3 308 | 2 39 | 3 154 | 2 13 | 13 77 | 7 1 | 11 | 11 1 | 585 = 5 ∙ 3 2 ∙ 13 616 = 2 3 ∙ 7 ∙ 11

Числа 585 и 616 не имеют общих делителей. Их наибольший общий делитель равен 1.

НОД (585; 616) = 1.

Если наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Любые два (три, …) простых числа являются взаимно простыми.

НОД (17; 43) = 1,

НОД (101; 919) = 1.

Даны разложения двух чисел на простые множители. Найдите наибольший общий делитель этих чисел (устно).

• 1) a= 2 · 3 ·5·7 и b=3·5·7·11
• 2) a=2·3·11 и b=2·2·3·5
• 3) a= 3 · 5 ·7·19 и b=5·7·3·3·19

Решите задачу.

Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

Задание для самостоятельной работы.

• Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 19 и 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13;

б) 2 3 ∙ 3 ∙ 7 3 ∙ 11 2 ∙ 19 и 2 2 ∙ 3 5 ∙ 11 2 ∙ 19 3.

• Найдите НОД данных чисел, разложив их на предварительно на простые множители:

а) 72 и 120; 792 и 1188; б) 42 и 105; 588 и 252.

• Среди приведенных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:

а) 14 и 21; б) 54 и 65; в) 42 и 55;

г) 14 и 70; д) 28 и 39; е) 63 и 42.

• а) Для учащихся первого класса приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 320 орехов, 120 шоколадок и 280 конфет. Сколько учеников в классе, если их больше 30?

б) Из 156 чайных, 390 красных и 234 белых роз составили букеты, причем в каждом из них роз одного цвета поровну. Сколько составили букетов, если их больше 50?

Цель:

• формирование понятий “наименьшее общее кратное”, ознакомление алгоритма поиска НОК;
• развитие памяти, внимания, умения самостоятельно решать задания ;
• прививать позновательный интерес к математике.

Найти несколько общих кратных для чисел 9, 18, 45.

Кратные числа 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189… Кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198… Кратные числа 45: 45, 90, 135, 180, 225...

Какие кратные являются общими?

Назовите наименьшее кратное.

Ответ: 90, 180

Ответ: 90

    Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел.

Например, числа 9, 18 и 45 имеют общие кратные 90, 180, 360 и т.д.

Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90.

Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо : 

1) представить каждое число как произведение его простых множителей , например: 504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей :

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,

3)  выписать все простые делители ( множители ) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени. 

П р и м е р .   Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . НОД (168; 180; 3024)

Разложим каждое число на простые множители:

168 | 2 180 | 2 3024 | 2

84 | 2 90 | 2 1512 | 2

42 | 2 45 | 3 756 | 2

21 | 3 15 | 3 378 | 2

7 | 7 5 | 5 189 | 3

1 | 1 | 63 | 3

21 | 3

7 | 7

1 |

168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 · 7 ,                       

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 ,                      

  3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4   · 3 3   · 7 .  

                  

     Выписываем наибольшие степени всех простых делителей  и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 · 7 = 15120 .

Самостоятельная работа

• Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 8 и 12; 12 и 16; б) 6 и 12; 10 и 21.

• Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 2 3 ∙ 3 ∙ 5 и 2 ∙ 3 2 ∙ 5; 2 4 ∙ 3 ∙ 11 и 2 2 ∙ 3 3 ∙ 13; б) 3 ∙ 5 2 и 3 ∙ 5 ∙ 7; 2 3 ∙ 3 2 ∙ 5 4 и 2 2 ∙ 3 3 ∙ 5 2 .

• Найдите наименьшее общее кратное данных чисел, разложив предварительно на простые множители:

а) 320 и 720; б) 252 и 840.

• а) Экскурсантов можно рассадить в лодки по 8 или 12 человек в каждую. В любом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100?

б) Привезенные на рынок арбузы можно распределить на груды по 10 или 12 арбузов без остатка. Сколько арбузов привезли на рынок, если их больше 300, но меньше 400?

Контрольная работа на тему «Делимость чисел»

Вариант № 1

• (2б). Какие из чисел 121, 613, 546, 12345 делятся на 3?
• (3б). Даны числа 15897, 39456, 62173, 71835.

Выписать те, которые делятся: а) на 5; , б) на 2 и на 3 одновременно.

• (3б). Какие простые числа являются решением неравенства 42
• (4б). Два теплохода одновременно вышли из порта. Рейс одного из них длится 12 дней, а второго – 15 дней. Через сколько дней они снова встретятся в порту?

Вариант № 2

• (2б). Какие из чисел 129, 98, 27, 14508 делятся на 9?
• (3б). Даны числа 14893, 46382, 53280, 61545.

Выписать те, которые делятся: а) на 2; , б) на 3 и на 5 одновременно.

• (3б). Какие простые числа являются решением неравенства 9
• (4б). От остановки разными маршрутами одновременно отправляются два трамвая. Рейс одного из них длится 40 минут, а второго – 50 минут. Через какое время они снова встретятся на остановки?

Литература

• Разноуровневые задания для тематических и итоговых контрольных работ по математике в 6 классах./Федченко Л.Я., Литвиненко Г.Н.-Д.: ИППО, 2004.
• Сборник заданий для экзамена и контрольных работ по математике в 5-6 классах./Федченко Л.Я., Тесленко В.В.-Д.: ИППО, 2000.
• Математика: Учебник для 6 класса./Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.
• Математика. 6 класс: Книга для учителя. /Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.
• Сборник задач и заданий для тематического оценивания по математике для 6 класса. /Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – Х.: Гимназия, 2006.