Презентация по теме "Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме"

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Автор: Лукьянова Алла Петровна

Повторение

• Что называется комплексным числом?

Комплексным числом называется выражение a+bi,

где а и b – действительные числа ,

i – некоторый символ

2. Чему равно число, обозначенное символом i ?

i =

3. Как называется запись комплексного числа в виде a+bi ?

Алгебраической формой комплексного числа

Повторение

4. Тригонометрическая форма комплексного числа

z = r(cos+i · sin), где r – модуль комплексного числа, – аргумент числа z

5. Найти тригонометрическую форму чисел

• z= 2+2i , b) z=-

a) 2+2i

b) -

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Умножение

Если

то

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Формула имеет место для любого конечного числа сомножителей

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Умножение

Пример 1. Умножить числа

Решение

==

=6

Упражнение

• Даны числа: ;

;

Вычислить

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Возведение в степень

Если

,

то

=

Формула Муавра

Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Возведение в степень

Возведение в степень

Пример 2. Вычислить

Решение . Найдем тригонометрическую форму числа 1+ i =

Тогда =

= )

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Возведение в степень

Если =1, то

При n=2, имеем

Получим формулы для

Упражнения

2 . Вычислить :

а)

b)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Деление

Если

то ))

т.е. модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов

Если , r(cos+i · sin),

то

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Деление

Пример 3. Даны комплексные числа

Найти частное .

Решение )=

)=

)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Деление

Упражнения

3. Даны числа:

;

;

Вычислить :

a) c)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа

Определение Корнем n-ой степени, nназывается любое комплексное число u, для которого

Операция нахождения всех корней n-ой степени из комплексного числа z называется извлечением корня n-ой степени из числа z и результат её обозначается

Извлечение корня из комплексного числа

Теорема . Для любого z≠0 извлечение корня n-ой степени, n≥2, из числа z всегда возможно и имеет n различных значений.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Формулы для нахождения корней n-ой степени

),

k=0,1,2,…n-1

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа

Пример 4. Найти все значения корня 3-ей степени из комплексного числа .

Решение

, где k=0; 1; 2.

);

);

)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа

Упражнения

4. Даны числа:

;

) ;

Вычислить :

a)

b)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Спасибо за внимание!

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме