Презентатция "Показательная функция"

Применение показательной функции

• природе
• экономике
• физике
• производстве

Запишите в тетрадь

19.01.17

Рост и размножение бактерий

Рост бактериальной клетки — это увеличение объема одной особи между двумя делениями. Молодая клетка увеличивается, удлиняется. Когда она достигает определенной длины, то образуется перегородка перпендикулярно ее длине. Перегородка расщепляется надвое, и получаются две дочерние клетки , чаще одинакового размера. При благоприятных условиях деление клеток совершается очень быстро, через каждые 20—30 минут, у термофилов, даже через 5 минут, у кислотоупорных гораздо медленнее, 1мор у туберкулезной палочки через 19 часов. Микобактерии размножаются не только делением, но и почкованием. Теоретически рассуждая бактерии могут размножаться беспредельно. Так, подсчитано, что при делении одной клетки через каждые 20 минут за 24 часа получилось бы 72 генерации и образовалось бы 472 • 1019 клеток. Если считать, что один миллиард клеток весит 1 мг, то 472 ּ 1019 клеток будут весить 4720 тонн. Через несколько дней микробные клетки заполнили бы все моря и океаны на Земле. Но этого не происходит, так как в природе нет соответствующих условий. Большая скорость размножения бактерий содействует сохранению их на Земле, так как у многих из них отсутствуют особые защитные приспособления, что могло бы привести их к быстрому вымиранию

Запишите в тетрадь

19.01.17

Биология

В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число (N) станет равной 2 х , т.е. N( х ) = 2 х

Запишите в тетрадь

19.01.17

Задача

Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией:

где первоначальная масса дрожжей,

t – время дрожжевания в часах,

m – масса дрожжей в процессе дрожжевания.

Вычислим m, если 10 кг и t = 9 ч.

Решение. Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания:

Ответ: масса полученных дрожжей:

Запишите в тетрадь

19.01.17

Легенда

В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую — вдвое больше, чем за предыдущую. Человеку трудно представить себе порядок величины 26 64 -1 (общее число зерен, плату за изобретение шахмат). Если грубо заменить

2 10 = 1024 на 10 3 , то 2 64 = 2 4 . 2 60 =16 . 10 18 =1,6 . 10 19 . Достаточно сказать, что расстояние от Земли до Солнца в миллиметрах приблизительно равно 1,5 ּ 10 14 , так что, считая диаметр зерна за 1 мм, можно этим зерном 100 тысяч раз уложить путь до Солнца.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Формула сложного процентного роста

p - % годовых

S - внесенная сумма

S n - сумма, которая будет на счёте через n лет

Запишите в тетрадь

19.01.17

Экономика

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 3 года, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:

10% от этой суммы составляют 0,1 *1500 = 150р

через год на счёте будет

1500 + 150 = 1650 р.

10% от новой суммы составляют 0,1 * 1650 = 165 р.,

через два года на счёте будет

1650 + 165 = 1815 р.

10% от новой суммы составляют 0,1 * 1815 = 181,5 р.,

через три года на счёте будет

1815 + 181,5 = 1996,5 р.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Физика

• Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T 1 , то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:
• T=(T 1 -T 0 )e -kt +T 1 ,
• где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Закон радиоактивного распада

• Распад большого количества ядер любого радиоактивного изотопа подчиняется одному закону, который может быть выражен в следующей математической форме:

• N=N 0 . 2

Это уравнение носит название закона радиоактивного распада. В нем N 0 означает начальное количество радиоактивных ядер в момент времени, с которого начинаются наблюдения ( t=0 ). Число ядер, не испытавших распада до некоторого произвольного момента времени t , обозначено N. Символом Tобозначена постоянная величина, зависящая от типа радиоактивного изотопа. Эта постоянная называется периодом полураспада. Через промежуток времени, равный периоду полураспада ( t=T ), исходное количество радиоактивных ядер убывает вдвое. На рисунке по оси ординат отложено количество радиоактивных ядер в момент времени t , время отсчитывается по оси абсцисс.

N

• Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

O

t

T

2T

19.01.17

Запишите в тетрадь

Задача:

Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ?

m = ?

Ответ: 1,13•10 -7 (г).

Запишите в тетрадь

19.01.17

В производстве

Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?

Решение. Применим для вычисления времени формулу сложных процентов:

где

2 тыс. – численность животных по истечению искомого времени;

5 тыс. – численность животных в начальный момент времени;

p = 8 - % сокращения численности животных.

Предварительно разделив обе части уравнения на 1000, получим:

лет.

Ответ: приблизительно через 11 лет.

19.01.17

Запишите в тетрадь

В производстве

Лесной участок содержит 6500 м3 древесины.

Сколько будет древесины на этом участке через 10

лет, если ежегодный прирост леса составляет в

среднем 2% ?

Найдем, сколько древесины будет в лесу через 10

лет по формуле сложных процентов:

S – результат;

A – исходное кол-во товара;

p – процент увеличения;

n – кол-во лет.

S = A· (1 + p/100) n

S = 6500· (1 +2/100) 10 ≈ 7923,46 м 3

Запишите в тетрадь

19.01.17

0,a≠1,b0 . Если a x =a c , то x=c является решением этого уравнения, его корнем. Если a x =b , то x=log a b - корень этого уравнения. Запишите в тетрадь 19.01.17" width="640"

Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Простейшими показательными уравнениями являются уравнения вида:

a x =a c и a x =b,a0,a≠1,b0 .

• Если a x =a c , то x=c является решением этого уравнения, его корнем.

• Если a x =b , то x=log a b - корень этого уравнения.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Методы решения уравнений

Методы

Аналитический

Графический

Приведение степеней

к одному основанию

Вынесение общего

множителя за скобки

Замена переменной

Почленное деление

Метод группировки

Запишите в тетрадь

19.01.17

Приведение степеней к одному основанию

а)

Решение.

5 –x =5 2 ,

-x=2,

x=-2.

Ответ: -2.

б)

Решение.

x=4.

Ответ: 4.

в) 2 . 4 x =64.

Решение.

2 . 2 2x =2 6 ,

2 2x+1 =2 6 ,

2x+1=6,

2x=5,

x=2,5.

Ответ: 2,5.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Вынесение общего множителя за скобки

Запишите в тетрадь

19.01.17

Замена переменной

9 x -4 . 3 x +3=0.

Решение.

9 x -4 . 3 x +3=0,

3 2x -4 . 3 x +3=0,

Уравнение квадратное оносительно 3 x =y.

Имеем уравнение y 2 -4y+3=0.

Корни y 1 =1; y 2 =3.

Перейдем к переменной x.

При y 1 =1 имеем 3 x =1, 3 x =3 0 ,x 1 =0,

при y 2 =3 имеем 3 x =3, x 2 =1.

Ответ: 0; 1.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Почленное деление

5 x = 8 x .

Решение.

Разделим обе части у равнения на 8 x

0

x=0.

Ответ: 0.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Метод группировки

Запишите в тетрадь

19.01.17

Графический способ

Решить графически уравнение:

• 2 -x =3x+10.

Решение.

Пусть y=2 -x или y= - убывающая функция,

(0;1) – точка пересечения с осью Oy.

y=3x+10- прямая.

Построим график данной функции и прямой.

x =-2-абсцисса точки пересечения.

Ответ: -2.

19.01.17

Запишите в тетрадь

Графический способ

2)

Решение.

Пусть y=

или y=3 x -возрастающая функция, (0;1)- точка пересечения с осью Oy,

y=2x+5-прямая. Построим график данной функции и прямой.

x=2- абсцисса точки пересечения.

19.01.17

Ответ: 2.

Запишите в тетрадь

Графический способ

3) 2 x =3-2x-x 2 .

Решение.

Построим графики функций y=2 x и y=3-2x-x 2 .

Функция y=2 x -возрастающая показательная функция. График этой функции пересекает ось Oy в точке (0;1).

Функция y=3-2x-x 2 -парабола, ветвями направлена вниз.

(-3;0) и (1;0)-точки пересечения графика функции с осью Ox.

(-1;4)- координаты вершины параболы. Абсциссы точек А и В являются корнями данного уравнения:x 1 ≈ -2,6, x 2 ≈ 0,6.

19.01.17

Запишите в тетрадь

Графический способ

4) 3 -x =

Решение.

Построим графики функций

при

- корень данного уравнения.

Абсцисса точки пересечения этих графиков x=

Запишите в тетрадь

19.01.17

a c и a x b,a0,a≠1,b0. Если Если Запишите в тетрадь 19.01.17" width="640"

Показательные неравенства

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства

вида:

a x a c и a x b,a0,a≠1,b0.

Если

Если

Запишите в тетрадь

19.01.17

Показательные неравенства

Запишите в тетрадь

19.01.17

Показательные неравенства

Запишите в тетрадь

19.01.17

Показательные неравенства

Запишите в тетрадь

19.01.17

Построение графиков функций

Построить график функции:

1)

.

Решение.

Из определения модуля следует, что

Запишите в тетрадь

19.01.17

Построение графиков функций

.

Запишите в тетрадь

19.01.17

Решение систем уравнений

Запишите в тетрадь

19.01.17

Решение систем уравнений

Запишите в тетрадь

19.01.17

Ресурсы

• moumk.ucoz.ru › … primenenie _ pokazatelnoj _ funkcii …10
• school.baltinform.ru › files/3/documents_13266_
• festival.1september.ru › articles/567461/
• revolution.allbest.ru › Педагогика › 00181238_0.html
• musoch50.narod.ru › otkr_uroki/morojoba_2.doc
• lawrencenko.ru › files/calc1-l13-lawrencenko.pdf
• mathem.by.ru › kompl6.html
• sh10-borisov.narod.ru › urok/matem8.pdf
• zavuch.info › component/mtree/tochnie/algebra/…

19.01.17

Литература

• Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса»,М., «Просвещение», 1990 г.
• Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. Изд. 2 доп./П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков.-М.: Илекса;Народное образование;Ставрополь:Сервисшкола,2010.-396с.-(Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).
• А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа, 10–11», М., «Просвещение», 2001 г.
• Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа. 10–11 класс», М., «Мнемозина», 2001г.
• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10–11 классов общеобразовательных, Просвещение 2003г.
• Р.А. Погосьян «Алгебра и начала анализа. 10 кл.».-Ростов н/Д.:Изд-во «Феникс», 1996г.

19.01.17