Решение уравнений 3 - ей и 4 - ой степеней в Италии 16 века.

Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степеней итальянскими алгебраистами 16в.

• Выполнила:
• студентка 4 курса
• Группы МАТ-141
• Гондаревская Анна

Немного из истории.

• В начале 16в. многие математики бились над решением алгебраических уравнений 3 – ей степени.
• Решения линейных и квадратных уравнений были известны еще в античности, а кубические уравнения долго не поддавались.

Исторические факты.

Большой вклад в решение уравнений 3 и 4 степеней внесли итальянские математики 16 века:

• Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори

Н. Тарталья (1499-1557)

• Д. Кардано (1501-1576) его ученик – Л. Феррари

Р. Бомбелли (1530-1572)

• Значительные продвижения были сделаны итальянским математиком Джероламо Кардано, который в результате своих изысканий открыл комплексные числа.

• Однажды он познакомился с другим итальянским математиком, который умел решать кубические уравнения – Тартальей . Тартилья рассказал ему способ решения уравнений, но попросил не публиковать его, поскольку данный способ помогал Тартилье побеждать на «математических дуэлях».

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

Рассмотрим произвольное кубическое уравнение:

И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду:

Пусть

Получим:

Положим т.е. Тогда данное уравнение

примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач.

Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению

И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, предложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения

Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне.

Рассмотрим уравнение

Тарталья использовал подстановку:

Из уравнения он получил :

Для u и v получена система

Значит, они являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, для отыскания х имеем формулу

• Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах».
• Джироламо Кардано (1501-1576) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени:

С помощью подстановки его можно привести к виду

Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем:

Феррари ввел параметр и получил:

Отсюда

Учитывая, получим

В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю.

• Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано.
• Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде
• Отсюда получаем два квадратных уравнения:
• Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение

Легко проверить, что -корень этого уравнения.

Естественно считать, что, используя формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что

По формуле находим:

Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок. 1526-1573), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i , такое, что

Бомбелли сформулировал правила операций с числом

Согласно теории Бомбелли, выражение можно записать так:

А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:

Спасибо за внимание!