Доклад на тему "Развитие логического мышления учащихся"

Развитие логического мышления на уроках математики

в старших классах

Не мыслям надобно учить, а учить мыслить.
Э. Кант

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого-педагогическим проблемам, к психологическим знаниям. Этот интерес обусловлен тем, что педагоги в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно разрешить лишь на основе психолого-педагогических знаний. Известный психолог А.Н.Леонтьев обоснованно считал, что »жизненный правдивый подход к отдельным воспитательным и даже образовательным задачам, который исходит из требований к человеку, каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этого вооружен, какими должны быть его знания, его мышление, чувства».

Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя учащихся искать решения нестандартных задач, раз­мышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и сути их доказательств, изучать специфику работы творчес­кой мысли выдающихся ученых. А. Я. Хинчин видит воспитатель­ный эффект уроков математики в том, что специфическая для математики логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать в учащихся общую логическую культуру мышления, и основным моментом воспитательной функции матема­тического образования он считает развитие у учащихся способностей к полноценности аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы... Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации»²³. Школьники приучаются к взаимной критике; ученик, который «отобьется» от всех возражений своих товарищей, почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем оружием, которое дало ему эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно научится уважать это оружие и, даже находясь в других ситуациях (в споре с другими или в своем «одиноком мышлении»), будет искать точной, полноценной аргументации, что значительно повысит его логическую культуру. А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций.

Требование полноты и выдержанности классификации

При построении классификаций необходимо соблюдать пра­вила деления понятий: классификация должна проводиться по одному существенному основанию, члены классификации долж­ны исключать друг друга, классификация должна быть полной. На уроках математики воспитывается потребность осуществлять правильные классификации.

Математический стиль мышления, по характеристике А. Я. Хинчина, определяется следующими особенностями: 1) до­веденное до предела доминирование логической схемы рассужде­ния; 2) лаконизм, сознательное стремление всегда находить крат­чайший из ведущих к данной цели логический путь; 3) четкая разбивка хода рассуждений на случаи и под случаи; 4) скрупулез­ная точность символики. Указанные черты стиля математичес­кого мышления способствуют поднятию общей культуры мыш­ления школьников, развитию их интеллектуального потенциала. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями. Чаще всего учащиеся пользуются такими видами дедуктивного умозак­лючения, как категорический силлогизм, энтимема, условно-кате­горические и разделительно-категорические умозаключения, по­лисиллогизмы, сориты, непосредственные умозаключения (пре­вращение, обращение, противопоставление предикату), дилеммы.

Принято считать, что уроки математики не только снабжают школьников определенной суммой знаний, но и учат его пользоваться всеми психическими функциями и процессами: мышлением, памятью и вниманием. Хотя каждый урок развивает логическое мышление, дети часто не умеют делать обобщений, выводов, классификаций. Одной из первоочередных и важнейших задач школьного курса математики является задача развития логического мышления учащихся. Развитие логического мышления не может быть реализовано без учета возрастных особенностей мышления. Возрастным особенностям интеллектуального развития посвящено немало исследований. В них выявлена стадиальность развития интеллекта, дана характеристика каждой мыслительной деятельности. Школьной возраст ученика обычно делят на три основных периода: младший(1–4 классы), средний (5–9 классы), старший, юношеский (10–11 классы).

Если на первой стадии ведущим является наглядно-действенное, практическое мышление, которое осуществляется в конкретной ситуации, в процессе практических действий с реальными предметами. У маленьких детей это «мышление руками». Малыш тянется к игрушке, не может достать и после ряда попыток использует палку или лезет на табуретку, чтобы получить заинтересованный предмет. На второй стадии преобладает наглядно-образное мышление, оно позволяет решать задачи на основе оперирования уже не реальными предметами, а образами восприятия и представлений, содержащимися в детском опыте. Связь мышления с практическими действиями хоть и сохраняется, но не является такой прямой, непосредственной, как раньше. Чтобы решать задачи ребенок должен отчетливо воспринимать, наглядно представлять рисуемую в них ситуацию.

На третьей, высшей, ступени развития ведущую роль в мыслительной деятельности приобретает отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление. Мышление выступает здесь в форме отвлеченных понятий и рассуждений, отражающих существенные стороны окружающей действительности, закономерные связи между ними. Овладение в ходе усвоения основ наук понятиями, законами, теориями оказывает значительное влияние на умственное развитие школьников. Оно раскрывает богатые возможности самостоятельного творческого приобретения знаний, их широкого применения на практике. Полученная в исследованиях характеристика стадий мышления позволила наметить основную линию его развития – от практического мышления , скованного конкретной ситуацией, к отвлеченному абстрактно-теоретическому мышлению, безгранично расширяющему сферу познания, позволяющему выходить далеко за пределы непосредственного чувственного опыта.

В мыслительной деятельности школьников в подростковом возрасте происходят существенные изменения. Достигнутый в младшем школьном возрасте уровень мышления позволяет подростку изучать основы наук. Но логика построения учебных курсов в среднем звене школы требует нового характера усвоения знаний, опоры на самостоятельное мышление. Для того, чтобы успешно учиться подросток должен хорошо обобщать, абстрагировать, сравнивать, рассуждать, делать выводы, доказывать. Основной особенностью мыслительной деятельности подростка является нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению, изменение соотношения между конкретно-образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. При этом конкретно – образные (наглядные) компоненты мышления не исчезают, не регрессируют, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления. Так у подростков развивается способность к конкретизации, иллюстрированию, раскрытию содержания, понятий в конкретных образах и представлениях. Нельзя игнорировать особенности наглядно-действенного мышления у подростков, так как при однообразии или ограниченности наглядного опыта тормозится вычленение абстрактных существенных признаков объекта. Специфические трудности такого рода отмечались в исследованиях психологов. Так, например, учащиеся 5–6 классов, зная существенные признаки объекта, не всегда их могут выделить в непривычной ситуации (не узнают прямоугольный треугольник при положении прямого угла вверху). Кроме того, младшие подростки испытывают затруднения при необходимости отвлечься (абстрагироваться) от наглядного значения слов и ориентироваться лишь на их грамматическую форму. Многие школьники и подростковом возрасте продолжают испытывать трудности при анализе причинно-следственных связей. Подросток должен четко усвоить, что является причиной какого-либо явления, а что – следствием.

Для подростков характерно заметное развитие критичности мышления. Ранее школьник слепо полагался на авторитет учителя или учебника, теперь он хочет убедиться в справедливости той или иной мысли, того или иного положения, суждения. Само по себе это ценное качество мышления, его следует развивать, это значит, что нужно преодолевать формирование привычки неоправданно сомневаться, возражать, спорить, отстаивать заведомо ошибочные суждения, упрямиться. Одним из средств формирования критичности в мышлении является обнаружение и опровержение ошибок в суждениях. Очень важной особенностью подросткового возраста является формирование активного, самостоятельного, творческого мышления. Подростковый возраст считается наиболее благоприятным , наиболее чувствительным для развития такого мышления. Доверие к интеллектуальным возможностям школьников как нельзя лучше соответствует возрастным особенностям личности подростков, так как это означает высокую оценку их интеллектуальных сил. Целесообразно стимулировать творческое мышление подростков, чаще ставить их перед необходимостью самостоятельно сравнивать различные объекты, находить в них сходство и различия, делать обобщения и выводы.

Непосредственный чувственный опыт может отрицательно воздействовать на процесс мышления подростка. Этот процесс необходимо корректировать. Только в этом случае, возможно показать подростку, что несущественные признаки предметов разнообразны, а существенные признаки всегда постоянны. Известно, что активная самостоятельная работа мысли начинается только тогда, когда перед школьниками возникает проблема , вопрос. Поэтому учителя, родители должны стараться так организовать занятия с подростками, чтобы перед ними чаще возникали проблемы различной сложности, что побуждало бы их к самостоятельному решению проблемы (самостоятельное выведение формул, правил, самостоятельное доказательство теорем). Овладевая научным знанием в среднем звене школы, учащиеся усваивают и определяют подход к процессу и результату учебно-познавательной деятельности. Этот подход при целенаправленном его формировании становится достоянием подростка, стилем его мышления. Задача педагога – вооружить учащихся принципами и характеристиками норм осуществления познавательной деятельности. Для развития логического мышления необходима постановка перед учениками учебной задачи, требующей от них нового анализа ситуации действия, нового ее понимания. Последующие усилия учителя должны быть направлены на организацию ее решения, то есть на организацию собственно поисковой деятельности, на попытку включиться и организовать ее «изнутри». Во-первых, учитель должен стать реальным участником совместного поиска, а не его руководителем. Он может высказывать свое мнение по поводу тех или иных шагов учащихся, но все его предложения и мнения должны быть открыты для критического анализа и оценки в той же мере, как и действия учащихся. Во-вторых, в реальный, фактически осуществляемый учениками поиск, а не навязывать им (пусть даже в самой тактичной и демократической форме) «правильный путь решения». Наконец, когда задача решена, т. е. искомый способ действия установлен и зафиксирован, учителю предстоит организовать оценку найденного решения. Она призвана выяснить, насколько пригоден найденный способ для решения других задач. Такие задачи должны быть сконструированы учителем совместно с учениками и путем видоизменения условий исходной задачи, в процессе решения которой был найден способ действия. Важно разделение функций между учителем и учеником, а не распределение между ними последовательных этапов решения учебной задачи, т.е. работа принимает характер совместно – распределённой деятельности. Чётко скоординировать усилия учащихся может только учитель, опираясь на прогностическую оценку возможностей учащегося. Таким образом, роль ученика в учебно-поисковой деятельности состоит не в точном исполнении указаний учителя, а в возможно более полной реализации создаваемых им предпосылок для осуществления поиска. Такое распределение обязанностей между учителем и учеником обуславливает характер отношений между ними и строятся по типу делового партнёрства и сотрудничества. Причём ученик вступает в отношения и с другими учениками, значит, его деятельность должна разворачиваться в рамках коллективного учебного диалога. Такая форма организации учебного процесса оказывает решающее влияние на коммуникативные качества. Совместный поиск общего смысла предстоящей деятельности придаёт ей характер общения. Такое общение требует обмена мыслями о предмете, чувствами, вызываемыми этим предметом, его оценками. Одновременно происходит интенсивное освоение важнейших коммуникативных умений: умение аргументированно выражать свою мысль и умение адекватно воспринимать мысль собеседника, притом развивается логическое мышление. Мышление развивается в самом процессе усвоения и применения знаний и действий, российскими методистами (Мильруд и Невская) были выделены способы развития мышления на уроках:

• с помощью проблемных ситуаций,

• реализации принципа коммуникативности на уроке.

Для успешного протекания мышления необходим прочный фундамент – наличие определённых знаний, только тогда он может их применить при решении новых задач и творчески использовать при возникновении интеллектуальных затруднений, т.е. при столкновении с задачами проблемного характера. Логическое мышление обслуживает постановку цели, ориентировку в условиях задачи, составление плана, репродуктивное – исполнительскую часть решения.

Изучение математики связано с накоплением разнообразной информации, а это развивает культуру умственного труда. Учащиеся пользуются учебниками, словарями, … Это позволяет им овладеть широким набором средств получения информации. Можно вести математический словарь, составлять опорные конспекты и схемы по темам, собирать папку с накопленными формулами «шпаргалки» и др. важным показателем культуры умственного труда является подготовка к решению задач, домашнего задания. Планирование ответа, составление опорных конспектов, подбор информации повышает подготовленность школьников к интеллектуальной деятельности. Культура умственного труда повышается путем достижения компьютерной грамотности, освоения информационных технологий, знакомство с Интернет-ресурсами.

(На уроке в процессе сотрудничества учащиеся тренируются в речи, общении, усваиваются правила этикета.)

Организовать учебную деятельность эффективно можно в разных формах, которые будут содействовать развитию внутренней (познавательной) мотивации учащихся. Учителю следует включать в занятия следующие виды работ:

• обсуждение различных вариантов решений одной и той же учебной

• задачи,

• знакомство с различными точками зрения по одной проблеме,

• вопросу, анализ предложенных позиций,

• предложение учащимся задания, направленного на поиск интересных интеллектуальных задач,

• обучение учащихся самостоятельному конструированию логических задач,

• создание ситуаций выбора задач различной степени трудности для их решения,

• создание ситуаций интеллектуального соперничества между учащимися или группами учащихся.

Для развития логического мышления в обучении учащихся 5 – 9 классов математике существует множество приёмов, множество задач. Это задачи на закономерности и отличия, на взвешивание и переливание, логические задачи, задачи – шутки, шарады, ребусы, метаграммы, различные занимательные задачи. Базовой моделью урока, направленного на развитие логического мышления учащихся, может служить следующая структура:

 разминка – психологический тренинг,

 развитие психических механизмов познания (памяти, внимания, мышления),

 выполнение развивающих задач,

 решение творческих заданий с неожиданными поворотами.

Дети любят находить закономерности в таких заданиях, как например:

1) 1 = 1² 1 + 3 = 2² 1 + 3 + 5 = 3² … 2) 13 = 12 13 + 23 = (1 + 2)2 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 …

Или задание одного из туров Соросовской олимпиады: числа написаны подряд: 1, 2, 3, 4, 5,… , 2000.

Первое, третье, пятое, и т.д. по порядку вычёркивают, из оставшихся 1000 чисел снова вычёркивают первое, третье, пятое, и т.д., повторяя, пока не останется одно число. Что это за число?

Можно долго выписывать ряды

1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … , 2000 (2000 чисел)     2) 2, 4, 6, 8, 10, … , 2000 (1000 чисел) формула 2n 3) 4, 8, 12, 16, 20, … , (500 чисел) формула 4n

И так 10 строк. Но ученики смогли увидеть, что остаются числа степени 2, значит останется число:

2n 2000

Интересны творческие и развивающие задачи на логические весы. Например, если

Не менее интересны в данном плане и задачи, решающиеся с помощью кругов Эйлера.

Задача:
В пятых классах школы всего 70 детей, 27 из них занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. Сколько учащихся не посещают ни одного кружка?

Обозначения:

Д – посещают драмкружок,
С – спортсмены,
Х – поют в хоре,
ДХС – посещают одновременно 3 кружка

Логическое мышление – это тот конёк, который мобилизует работу всех компонентов усвоения – внимания, памяти, воображения, что составляет основу интеллекта учащихся, вовлекает учащегося в познавательную деятельность, стимулируя тем самым и его логическое развитие.

Итак, для успешного обучения математике в среднем звене, для понимания и усвоения учебного материала у подростков должны быть сформированы три составляющие мышления:

• высокий уровень элементарных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения, выделения существенного, классификации и др.),

• высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества различных идей, возникновении нескольких вариантов решения проблемы, высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, проявляющийся в ориентации на выделение существенного в явлениях, в использовании обобщённых схем анализа явления.
  Высокий уровень интеллектуальных способностей, логического мышления у подростка необходимы для успешной учебной деятельности и не только.

И педагоги, и родители должны постоянно помнить о том, что интеллектуальные способности – это тот багаж, с которым подросток выйдет во взрослую жизнь, с помощью которого выберет и освоит профессию.