Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Разбор типового экзаменационного задания №19 (профильный уровень).
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Решение
Пусть 
- 4х-значное число. Ни одна из цифр не должна равняться нулю, иначе их произведение будет равно нулю.
а) 
Произведение цифр кратно 10, следовательно оканчивается нулём. 
, значит в разложении 4х-значного числа обязательно есть цифры 
и
или цифры кратные им, т.е 
и или 
и или 
и
Получаем 
или 
или 
или 
.
Нетрудно увидеть, что данному условию удовлетворяет набор 
, т.е 
Получаем число 3525 и все числа, полученные перестановкой цифр в данном числе, т.е 5325, 2355 и т.д.
Или 
т.е 
Получаем число 9225 и все числа, полученные перестановкой цифр в данном числе, т.е 5229, 2925 и т.д.
б) 
Произведение цифр кратно 175. 
, значит в разложении 4х-значного числа обязательно есть цифры 
и.
Получаем 
. Остаётся найти одну цифру, она принимает значения от 1 до 9.
| Число | Произведение | Сумма | Вывод |
| 1755 | 175 | 18 | нет |
| 2755 | 350 | 19 | нет |
| 3755 | 525 | 20 | нет |
| 4755 | 700 | 21 | нет |
| 5755 | 875 | 22 | нет |
| 6755 | 1050 | 23 | нет |
| 7755 | 1225 | 24 | нет |
| 8755 | 1400 | 25 | нет |
| 9755 | 1575 | 26 | нет |
Вывод: таких 4х-значных чисел нет.
в) 
Произведение цифр кратно 50. 
, значит в разложении 4х-значного числа обязательно есть цифры , и или цифры кратные им, т.е , и или , и или , и
Проверим 
.
| Число | Произведение | Сумма | Вывод |
| 1255 | 50 | 13 | нет |
| 2255 | 100 | 14 | нет |
| 3255 | 150 | 15 | нет |
| 4255 | 200 | 16 | нет |
| 5255 | 250 | 17 | нет |
| 6255 | 300 | 18 | нет |
| 7255 | 350 | 19 | нет |
| 8255 | 400 | 20 | нет |
| 9255 | 450 | 21 | нет |
Проверим 
| Число | Произведение | Сумма | Вывод |
| 1455 | 100 | 15 | нет |
| 2455 | 200 | 16 | нет |
| 3455 | 300 | 17 | нет |
| 4455 | 400 | 18 | нет |
| 5455 | 500 | 19 | нет |
| 6455 | 600 | 20 | нет |
| 7455 | 700 | 21 | нет |
| 8455 | 800 | 22 | нет |
| 9455 | 900 | 23 | нет |
Проверим 
| Число | Произведение | Сумма | Вывод |
| 1655 | 150 | 17 | нет |
| 2655 | 300 | 18 | нет |
| 3655 | 450 | 19 | нет |
| 4655 | 600 | 20 | нет |
| 5655 | 750 | 21 | нет |
| 6655 | 900 | 22 | нет |
| 7655 | 1050 | 23 | нет |
| 8655 | 1200 | 24 | нет |
| 9655 | 1350 | 25 | нет |
Проверим 
| Число | Произведение | Сумма | Вывод |
| 1855 | 200 | 19 | нет |
| 2855 | 400 | 20 | нет |
| 3855 | 600 | 21 | нет |
| 4855 | 800 | 22 | нет |
| 5855 | 1000 | 23 | нет |
| 6855 | 1200 | 24 | да |
| 7855 | 1400 | 25 | нет |
| 8855 | 1600 | 26 | нет |
| 9855 | 1800 | 27 | нет |
Ответ: Число 6855 и все числа, полученные перестановкой цифр в данном числе, т.е 6585, 6558, 8655, 8565, 8556, 5685, 5658, 5865, 5856,
5568, 5586 Всего 12 чисел
Ответ: а) 3525 или 9225; б) нет; в) 6855 и все числа, полученные перестановкой цифр в данном числе, т.е 6585, 6558, 8655, 8565, 8556, 5685, 5658, 5865, 5856, 5568, 5586. Всего 12 чисел
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
