Методические рекомендации Трудные задачи в курсе алгебры

Методические рекомендации

Трудные задачи в курсе алгебры

Пеннер А.С.

учитель математики ГУ Кызылжарская средняя общеобразовательная школа,

с. Кызылжар

Предлагаю некоторые методические рекомендации по решению трудных задач. Рекомендации разработаны с учетом опыта. Задачи разнообразны и по тематике, и по способам решения, и по возлагаемой на них учебно-воспитательной функции. Это логические задачи комбинаторного характера, задачи, решаемые с помощью составления уравнений и систем уравнений, на использование свойств натуральных чисел и сведений из теории делимости.

По способу использования трудные задачи можно разбить на три группы:

1. Рассматриваемые на уроке со всеми учащимися;

2. Предлагаемые на дом в качестве необязательного задания (их решения полезно разобрать вне урока с теми, кого они заинтересуют);

3. Предназначенные для решения на занятиях кружка.

Такое разбиение весьма условно и зависит от уровня подготовки школьников, от их интересов.

Приведу решения некоторых трудных задач, вызывающих у учащихся наибольший интерес.

1. Два туриста, имея всего один велосипед, должны за полтора часа пройти маршрут длиной 12 км. Известно, что на велосипеде каждый из них может развить скорость 20 км/ч, а пешком – 5 км/ч. Смогут ли туристы пройти маршрут без опоздания? (На велосипеде одновременно два человека не могут.)

Р е ш е н и е: пусть первый турист проедет на велосипеде х км, а пешком пройдет (12 – х) км. Тогда второй турист проедет на велосипеде (12 – х) км, а пешком пройдет х км. Так как наибольший выигрыш во времени туристы получат в том случае, если в конечный пункт маршрута придут одновременно, то

х

5

откуда х = 6, т.е. наибольшего выигрыша во времени туристы добьются, если половину пути каждый из них проедет на велосипеде, а другую половину пройдет пешком (при этом менять способ передвижения туристы могут, например, через каждые 100 м). подсчитаем затраченное в этом случае на прохождение маршрута время:

6 + 6

5

Для закрепления способа решения аналогичных задач полезно решить следующую задачу:

1. Два человека, у которых есть один велосипед должны попасть из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 40 км от А. Первый передвигается пешком со скоростью 4 км/ч, на велосипеде – 30 км/ч. Второй – пешком со скоростью 6 км/ч, на велосипеде - 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться в пункт В (велосипед можно оставлять без присмотра)?

О т в е т: 4 ч 48 мин.

1. Перед соревнованиями по плаванию четыре спортсмена А, Б, В и Г давали интервью. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним», Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один пловец ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся?

При решении этой задачи большую помощь учащимся может оказать составленная по условию задачи таблица, в которой указываются предполагаемые результаты.

Из таблицы становится очевидным, что пловец Г правильно предсказал свой результат: если бы Г ошибся, то ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял бы никто.

Если бы ошибся В, тогда он должен быть или первым, или последним. В таком случае ошибся бы еще один пловец – А или Г.

Если бы ошибся Б (занял IV место), то ошибся бы и Г, что противоречит условию задачи: ошибся только один пловец.

Значит, ошибся А, он мог занять II или III место. Возможны следующие варианты распределения мест: а) Б – I, А – II, В – III, Г – IV; б) Б – I, В – II, А – III, Г – IV.

1. Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру переставить на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите четырехзначное число.

Р е ш е н и е: Задачу можно легко решить методом подбора цифр, сформулировав ее условие следующим образом.

В записи

замените буквы цифрами, если каждая буква означает лишь цифру и разные буквы означают разные цифры.

Получаем, что С = 1, В = 8, А = 6; искомое число 7681.

1. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.

Р е ш е н и е: Сформулируем условие задачи по-другому.

В записи

определите, какие цифры обозначены буквами, если каждая буква означает лишь одну цифру и разные буквы означают разные цифры (звездочками обозначены промежуточные слагаемые – неполные произведения).

Р е ш е н и е: Замечаем, что число В, будучи умножено на 7, дает число, оканчивающееся на В. Это может быть лишь при В = 0 или В = 5. В данном случае В = 5 (произведение не кратно 10). Имеем:

Число 7А+3 должно оканчиваться нулем (так как число десятков первого промежуточного слагаемого – нуль), следовательно, число 7А оканчивается на 7, т.е. А = 1, искомое число – 15.

1. В одном сосуде 49 л воды, а в другом 56 л. Если долить первый сосуд доверху водой из второго сосуда, то второй сосуд окажется наполненным только наполовину. Если же долить второй сосуд доверху водой из первого сосуда, то первый окажется наполненный только на одну треть. Узнайте емкость каждого сосуда.

Р е ш е н и е: Пусть емкость I сосуда – (49+х) л, емкость II сосуда – (56+у) л. Если в первый сосуд долить из второго х л, то во втором останется (56- х) л, или

Имеем уравнение:

Если во второй сосуд из первого долить у л, то в первом сосуде останется (49-у) л.

По условию

Получим систему уравнений:

откуда х = 14, у = 28, т.е. емкость I сосуда – 63 л, емкость II – 84 л.

1. Я задумала 2 двузначных числа, начинающихся с цифры 6, причем другие цифры этих чисел не равны 6. Если переставить местами цифры в каждом из задуманных чисел, то значение произведения двузначных чисел не изменится. Какие числа я задумала?

Р е ш е н и е: По условию 6х · 6у = х6 · у6. Так как произведение 6·6 оканчивается цифрой 6, то и произведение х · у должно оканчиваться на 6. Выпишем все пары однозначных чисел, произведение которых оканчивается на 6: (3; 2), (4; 4), (2; 8), (9; 4), (6; 6), (7; 8). Легко убедиться, что лишь 69 · 94 = 96 · 46.

О т в е т: 69 и 64.

Докажите, что р² – 1, где р – простое число, большее, чем 3, делится на 24.

Р е ш е н и е: р² – 1=(р-1)(р+1).

Так как 24=3 · 8, где 3 и 8 – взаимно простые числа, то для доказательства делимости р²-1 на 24 достаточно доказать его делимость а) на 3 и б) на 8 (соответствующую теорему целесообразно рассмотреть на занятиях математического кружка).

а) Для доказательства делимости р² – 1 на 3 рассмотрим три последовательных натуральных числа: р-1, р, р+1. Так как из трех последовательных натуральных чисел одно всегда делится на 3, а р – число простое и большее 3 (по условию), то на 3 делится одно из чисел р-1 или р+1. Следовательно, р-1 и р+1 – числа четные. Пусть р-1 =l ·2, тогда р+1=2(l+1).

(р-1)(р+1)=2l · 2(l+1)= 4l(l+1).

Так как из двух последовательных натуральных чисел l и l+1 одно число четное, то (р-1) (р+1) = 4l(l+1) делится на 8. Следовательно, р²-1 делится на 24.

Найдите трехзначное число, которое равно квадрату двузначного и кубу однозначного числа.

Р е ш е н и е: Воспользуемся тем, что натуральное число, больше 1, является полным квадратом тогда и только тогда, когда в каноническом разложении его содержатся степени простых чисел только с четными показателями.

Выпишем кубы всех однозначных чисел:

1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³, 7³, 8³, 9³.

Рассмотрим те из них, которые, являясь трехзначными числами, могут быть равны квадрату двузначных. Очевидно, что 5³ и 7³ не могут быть квадратами двузначных чисел (5 и 7 – числа простые).

Разложим на простые множители, оставшиеся составные числа:

6³ = 2³·3³≠а³,

8³ = (2³)³ = 2⁹ ≠ а²

9³ = (3³)³ =(3³)² = 27² =729.

Искомое число – 729 = 27² = 9³.