Необычные задачи по математике для любопытных

Необычные задачи по математики

Роль математики в различных областях человеческой деятельности в разное время была различной.

Потребности техники, естествознания, практической деятельности людей ставили перед математикой новые задачи и стимулировали ее развитие.

Существенное влияние оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий или упражнений или другими словами-построить математическую модель изучаемого объекта.

Математические методы давно и весьма успешно применяются в механике, физике, астрономии, химии, технике.

Задача 1.

Составить фрагмент расписания для одного дня занятий с условиями: 1) учитель истории может дать первый или второй или третий урок;

2) учитель литературы может дать только первый урок или только второй урок;

3) учитель математики может дать только первый или только второй уроки;

3) учитель физической культуры может дать только последний урок.

Решение задачи упрощается, если вычертить «дерево»:

Рис. 45

Задача 2.

Построить дорожную сеть так, чтобы любые два из «N» городов были соединены дорогой. Пути при этом должны пересекаться на разных уровнях (либо «над» либо «под»)

С дороги на дорогу можно перейти только в каком-нибудь из городов. Как построить дороги с наименьшей протяженностью? Метод предложил польский математик Г. Штейнгауз: выбрав любой город, его следует соединить с ближайшими соседними городами, а затем то же самое сделать со всеми остальными городами. Если образовалась сеть, охватывающая все города, то задача решена. Если вместо единого «дерева» получается «лес» не связанных друг с другом «деревьев» , то необходимо выбрать одно из них и провести кратчайший путь, соединяющий город на этом «Дереве» с городом другого «дерева». Если решение еще не получено, то с другими «дереьями» следует поступить аналогично. Пусть города расположены так:

Рис. 46.а

Действуем так: город А соединим с городом В, город С с городом Д, город Д – с Е. В результате получаем два «дерева» - одно из них с двумя, второе- с тремя вершинами. В соответствии с алгоритмом соединим эти два дерева кратчайшим путём (А-Д), после чего получилась сеть

(Рис. 46.б)

Общая продолжительность сети 15 км.

Задача 3 о назначениях: Как правильно распределить обязанности между членами бригады? Как найти лучший вариант укомплектования экспедицией?

Как назначить исполнителей на роли в новой пьесе?

Ответ на любой из этих вопросов требует не только смекалки, но и точного расчета, знания методов решения. И в этом случае приходит на помощь математика.

Пример: в составе экспедиции будут 6 специалистов- биолог, врач, синоптик, гидролог, механик, радист. Имеются 8 кандидатов: A, B, C, D, E, F, G, H.

Обязанности биолога могут исполнять E и G, врача- A и D, синоптика – F и G, гидролога – B и F, радиста – C и D, механика – C и H. Каждый выполняет 1 обязанность. F- не может ехать без В, D- без Н и без С, С не может вместе с G, А- вместе с В.

Распределить их можно по (Рис. 47)

Аналогичные задачи можно решать с помощью раскрашивания вершин и ребер «дерева»

Задача ;. На фестивале встретились 6 делегатов. Оказалось, что из любых 3-х по крайней мере 2 могут объясняться на одном из языков.

Доказать, что найдутся 3 делегата, каждый их которых может объясняться с каждым из этой тройки.

Пусть каждому делегату соответствует вершина. Если два делегата могут объясниться между собой, то вершины соединим синим ребром, а если нет-то черным. Пусть делегаты А и В могут объясниться

Рис. 48

Рассмотрим тройки, в которые могут входить Аи В: АВ F, АВС, АВD, АВЕ. Рассмотрим АВС. Вершину С соединим с вершинами А и В черными ребрами. Это означает, что в этой тройке только А и В могут объясняться между собой.

Рассуждая аналогично, ребра (А, D), (В, D), (А,Е), (В,Е), (А, F), (В, F) тоже изобразим черным.

Получим РИС.49.

Рассмотрим тройки, в которые входит вершина А и не входит вершина В, например А F С.

В ней ребро ( F, С) изобразим жирной линией (иначе получится, что в этой тройке нет двух делигатов, которые могум объясняться друг с другом). Аналогично рассуждая относительно вершин В, приходим к необходимости изобразить жирной линией ребра (F, D), (D, С), (F, Е), (Е,С), (F, D). Получим Рис. 50

Вывод три тройки делегатов могут свободно общаться друг с другом.

Это ЕFC, EFD, DFC.

Данные задачи можно рассмотреть на нескольких уроках перед изучением тем по теории вероятности. Можно предложить учащимся подготовить по одной задаче и выступить перед классом, но сначала выслушать варианты ответов на поставленные задачи самих учащихся и предложить рациональное решение.

Подборка задач из издания « «Необычные задачи математики» , автор В.Н.Касаткин.

В задачах уделено особое внимание алгебре логики и теории «дерева» (графов), овладение которыми успешно составлять алгоритмы и программы при изучении информатики.