Проект по математике на тему:"Треугольники с целочисленными сторонами".

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Проект по математике на тему:"Треугольники с целочисленными сторонами".»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема проекта: «Треугольники с целочисленными сторонами»

Работу выполнил: Кривоногих Константин Алексеевич /_________/

(Ф.И.О) (подпись)

Группа 1МСХ9 специальность Механизация сельского хозяйства

Дисциплина Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Преподаватель: Низамова Гульнара Ахмедовна /_________/

(Ф.И.О) (подпись)

Оценка за проект________________________

«___»____________2017г.

Палласовка, 2017г.

Содержание

Введение

1. Основные свойства целых треугольников………………………………....5

2.Треугольники Герона………………………………………………………...8

3. Целочисленные треугольники на двумерной решетке………………......10

Заключение……………………………………………………………………….13

Список использованной литературы……………………………………..…….14

Введение

Целочисленный треугольник - это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить, как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному (умножив все стороны на одно и тоже число, наименьшее общее кратное знаменателей), так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками.

Актуальность данной темы заключается в том, что полученные при исследовании целочисленных треугольников результаты будут интересны как специалистам в области элементарной геометрии, так и учащимся выпускных классов при поиске нестандартных способов и методов решения задач, связанных с теорией целых чисел.

Объект исследования: треугольники.

Предмет исследования треугольники с целочисленными сторонами.

Цель: доказать, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

Для достижения поставленной цели мною были определены следующие задачи:

рассмотреть основные свойства целых треугольников;
изучить треугольники Герона целочисленные треугольники на двумерной решетке
рассмотреть целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов и целочисленные треугольники с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей.

В процессе выполнения работы мною были использованы следующие методы исследования:

-изучение и анализ научную литературу;

-обобщение изученной информации;

Данная работа состоит из введения, основной части, списка использованной литературы.

1. Основные свойства целых треугольников

Целочисленные треугольники с заданным периметром.

Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный (с точностью до конгруэнтности) треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Эти числа являются ближайшими к p 2 48 для чётных p и к (p + 3) 2 48 для нечётных. Это также означает, что число целочисленных треугольников с чётным периметром p = 2 n равно числу с нечётным периметром p = 2n — 3. Таким образом, нет треугольников с периметрами 1, 2 и 4, имеется по одному с периметрами 3, 5, 6 и 8, и по два с периметрами 7 и10. Последовательность числа целочисленных треугольников с периметрами p, начиная с p = 1:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8… (последовательность А00504 и OEIS).

Целочисленные треугольники с заданной большей стороной.

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с заданной наибольшей стороной c равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b c и a ≤ b ≤ c. Это значение равно Ceiling[(c + 1)⁄2] * Floor[(c + 1)⁄2]. Для чётных c это равно удвоенному треугольному углу c⁄2(c⁄2 + 1), а для нечётных c это равно квадрату (c + 1)2⁄4. Это означает, что число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c−2 на c.

Последовательность числа неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной, начиная с c = 1:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 … (последовательностьA002620 OEIS)

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b c , a2 + b2 ≤ c2 и a ≤ b ≤ c. Это число совпадает с числом целочисленных треугольников с тупым или прямым углом с наибольшей стороной c. Последовательность числа таких треугольников, начинающаяся с c = 1:0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 … (последовательность А236384 OEIS)

Разница между последними двумя последовательностями даёт число целочисленных треугольников с острыми углами (с точностью до конгруэнции) с наибольшей стороной c. Последовательность числа остроугольных треугольников, начиная с c = 1:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 … (последовательность А247588 в OEIS)

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины стороны равны a, b и c, то

Поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины16T2.

Углы целочисленного треугольника

По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°. Для целочисленных треугольников оставшиеся углы должны также иметь рациональные косинусы и метод генерации таких треугольников приведён ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это потому, что углы должны быть рациональными углами вида πp q с рациональными 0

Деление стороны высотой

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.

2.Треугольники Герона

Общая формула

Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные.

b=m(+)

с=(с+m)(mn-)

Полупериметр = mn(m+n)

Площадь = mnk(m+n)(mn-)

для целых m , n и k , удовлетворяющих условиям

gcd(m,n,k)=1

mn/(2m+n)

Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом, где q = gcd (a,b,с) сокращает сгенерированный

геронов треугольник к примитивному, а растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера.

Пифагоровы треугольники

Пифагоров треугольник — это прямоугольный геронов треугольник и его три стороны известны как пифагорова тройка. Все примитивные (не имеющие общего множителя) пифагоровы тройки с гипотенузой можно получить с помощью формул

-b = 2mnc =

Полупериметр = m (m+n)

Площадь = mn (-)

где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m n .

Героновы треугольники с целой высотой и гипотенузой

Все примитивные пифагоровы треугольники с катетами a и b, гипотенузой c , и целой высотой на гипотенузу, которые необходимо будут удовлетворять равенствам += и + =

a = (- ) + ( + )

b = 2mn ( + )

c = ( + )2

d = 2mn (- )

Полупериметр = m (m+n) ( + ),

Площадь = mn (-) ( + )2

для взаимно простых чисел m, n с m n .

Более того, из любого пифагорова треугольника с катетами x, y и гипотенузой z можно получить другой пифагоров треугольник с целой высотой d на гипотенузу c по формуле

(a,b,c,d) = (xz,yz,,xy).

Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии

Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

b = 2()/g

d = ( - )/g

и где g является наибольшим общим делителем чисел 2mn и 2mn.

3. Целочисленные треугольники на двумерной решетке

Двумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид ( x, y ), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам. Треугольник на решётке — это любой треугольник, вершины которого являются точками решётки. По формуле Пика треугольник на решётке имеет рациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет в знаменателе 2. Если треугольник на решётке имеет целые стороны, то он является героновым треугольником.

Более того, было показано, что все героновы треугольники можно нарисовать на решётке. Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке.

Целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов.

Целочисленные треугольники с рациональной биссектрисой

Семейство треугольников с целочисленными сторонами a, b, c и рациональной биссектрисой d угла A задаётся уравнениями

a = 2( - )

k = (k - m)2

c = (k + m)2

d =

с целыми k

Целочисленные треугольники с целыми n -делителями всех углов

Существуют треугольники, в которых три стороны и все три биссектрисы являются целыми числами.

Существуют треугольники, в которых три стороны и две трисектрисы каждого угла являются целыми числами. Однако для n 3 не существует треугольников с целочисленными сторонами, в котором ( n –1) n -сектрис каждого угла являются целыми числами .

Целочисленные треугольники с одним углом, имеющим рациональный косинус. Некоторые целочисленные треугольники с углом в вершине A, имеющим рациональный косинус h/k ( h 0; k 0), задаются формулами

a = - 2pqh +

b = -

c = 2qk(p – qh)

где p и q являются взаимно простыми положительными целыми числами, для которых pqk .

Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии). У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны треугольникам

a = 4mn

b = 3 +

c = 2mn + 3 - |

со взаимно простыми целыми m, n и 1 ≤ n ≤ m или 3 m ≤ n . Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формулам

a = b = 2mn - c

со взаимно простыми целыми m, n и с 0

Целочисленные треугольники с одним углом 120°

Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формул

a = b = 2mn + c

со взаимно простыми целыми m, n и 0

Целочисленные треугольники с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей

Условие для целочисленного треугольника иметь целочисленное отношение N радиуса описанной окружности к радиусу вписанной известно в терминах эллиптических кривых. Наименьший случай, равносторонний треугольник, имеет N =2. Во всех известных случаях N ≡ 2 (mod 8), то есть N –2 делится на 8.

Заключение

В ходе выполнения исследования доказано, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача), рассмотрены основные свойства целых треугольников; изученные треугольники Герона целочисленные треугольники на двумерной решетке; рассмотрены целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов и целочисленными треугольниками с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей. Для целочисленных треугольников оставшиеся углы должны также иметь рациональные косинусы и метод генерации таких треугольников. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессию.