Проект по математике на тему:"Цепные дроби: скрытая красота".

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема проекта: «Цепные дроби: скрытая красота»

Работу выполнила: Сапаргалиева Диана Албековна /____________/

(Ф.И.О.) (подпись)

Группа: 1ТВ9 специальность Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров

Дисциплина Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Преподаватель: Низамова Гульнара Ахмедовна /____________/

(Ф.И.О) (подпись)

Оценка за проект________________________

«___»____________2017г.

Палласовка, 2017г.

Содержание

Введение 3

1. История появления и развития цепных дробей 4

2. Свойства цепных дробей 4

3. Цепные дроби и программирование 6

4. Использование цепных дробей в других науках 7

5. Геометрическое изображение цепных дробей 8

Заключение 9

Список литературы 10

Введение

В процессе работы я пытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бом-белли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением разнообразных задач. Цепные дроби – это вид действительных чисел. Действительные числа однозначно отображается цепными дробями. Основное значение заключается в том, что зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Недостатком цепных дробей является то, что для них никаких практически приемлемых правил арифметических действий не существует. Поэтому широкого применения они не получили.

Объект исследования – дроби.

Предмет исследования – значение цепных дробей.

Цель–изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Задачи:

- изучить историю возникновения цепных дробей;

- исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними;

- изучить способы решения заданий с данными дробями;

- найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;

- выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;

- выяснить возможность применения цепных дробей в других науках.

1. История появления и развития цепных дробей

По сохранившимся источникам, мы знаем, что цепные дроби использовались в древней Греции, Китае и Египте. Впервые цепные дроби как таковые появляются в учебнике «Алгебра» итальянского математика Рафаэля Бомбелли (1526-1572), вышедшем в 1572 г.

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь.

Можно сказать, что первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь».

1. Свойствацепных дробей

1⁰. Всякое рациональное число (где рq) можно представить в виде конечной цепной дроби

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a₁, …, a_n — натуральные, a₀ — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

Пример.

2⁰.Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числаπ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения и.

Мною было принято решение написать программы на языке программирования Pascal для перевода цепной дроби в действительное число и обратно.

Программа вычисления значения цепной дроби

Программа просит пользователя ввести числитель дроби и количество вложений цепной дроби. Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

Program TO_NUMBER;

var n, k: integer;

b:real;

begin

write (' введитезнаменательдроби');read (b);

write (' введитекол-вовложений ');read (n);

for k:=1 to n dob:=1+1/b;

write (' искомое число = ', b);end.

Результатыработыпрограммы

Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается.

Вывод.

+ Программа работает корректно.

- Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Программа, выполняющая разложение числавцепнуюдробь

Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовавего, выдаетрезультатвида[1, 7, 16]

Program TO_FRACTION;

var a: array[1..100] of integer;

k, n: integer;

x:real;

begin

write (' введитечисло ');read (x);

k:=1; a[1]:=trunc(x);k:=2;

whilefrac(x)0 do

begin

x:=1/frac(x) ;

a[k]:=trunc(x) ;

k:=k+1;

end;

n:=k;

write (' искомоечислоx = [');

for k:=1 to n dowrite (a[k],',');

write (']');end.

Результаты работы программы

1.8 = [1,1,4,0,]

1.6 = [1,1,1,1,1,0,0,]

1.65 = [1,1,1,1,5,1,75350303,2,3,1,1,0,0,]

7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива

2.5 = [2,2,0,]

4.75 = [4,1,3,0,0,]

Описание ошибок

1. В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности. При ручном счете эти дроби записываются в виде обыкновенных и ошибки не происходит.

2. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunk(). Данная функция отсекает дробную часть действительного числа.

3. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac(). Данная функция вычисляет дробную часть действительного числа. Для целых чисел результат её работы должен быть равен 0, но происходит ошибка.

1. Цепные дроби и программирование

Принцип цепной дроби созвучен понятию рекурсии в программировании.

Рекурсивным- называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.

Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.

«У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

Камнем придавил, и на камне написал:

«У попа была собака...»(Детская считалка)

«Я оглянулся посмотреть,не оглянулась ли она,

чтоб посмотреть, не оглянулся ли я...»

(Максим Леонидов, «Девочка-видение», песня).

Обычно, в программировании под рекурсией понимают такую реализацию, в которой подпрограмма использует в своем теле вызов самой себя.

Написанные мной программы использовали циклический алгоритм.

Исправим программу, используя рекурсивный вызов функции num(a,m), которая вычисляет значение одного вложения цепной дроби. Благодаря рекурсивности мы поднимаемся до первого вложения цепной дроби и получаем ответ.

Program TO_NUMBER;

var n, k: integer;

b:real;

functionnum(a:real; m:integer):real;

begin

if m=1 then num:=1+1/a

else num:=1+1/num(a,m-1);

end;

begin

write ('введитезнаменательцепнойдроби');read (b);

write (' введите кол-во вложений цепной дроби ');

read (n);

b:=num(b,n);

write (' искомое число = ', b); end.

1. Использование цепных дробей в других науках

Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но меня удивило то, что они очень востребованы другими науками.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log₂(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

При разработкесолнечного календарянеобходимо найти рациональное приближение для числа дней вгоду, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основуюлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8високосных летза период в 33 года, была предложенаОмаром ХайямомвXI векеи положила началоперсидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (вгригорианском— за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (), Ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астрономИоганн фон Медлер(1864), однако большого интереса он не вызвал.

Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения. Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Сама природа отражает цепные дроби, только это надо увидеть. Это лишний раз подтверждает афоризм Галилео Галилея:«Математика - это язык, на котором написана книга природы».

1. Геометрическое изображение цепных дробей

Итак, мы собрали множество доказательств о востребованности цепных дробей в разных науках. У большинства математических объектов есть геометрическая интерпретация. Попробуем найти её и для цепных дробей.

Мы установили связь цепных дробей и понятия рекурсии. Функция называетсярекурсивной, если она содержит одно или несколько обращений к самой себе. Рекурсии можно использовать для получения различных привлекательных картинок. Фигуры с рекурсивным подобием называютсяфракталами. Увеличенные детали фрактала подобны полному изображению.

Гипотеза: Фрактал является графическим отображением цепной дроби.

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный)– представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Данные математические формы принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Свое открытие он опубликовал в научных трудах, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений.Фракталы широко применяются в компьютерной графике – при построении изображений деревьев, поверхности морей, горных ландшафтов, и других природных объектов. Интересно, что кроме фрактальной «живописи» существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. Фрактал построенный по математической формуле не менее красив, чем природный.

Из всех геометрических объектов только фракталы обладают свойствами, сходными со свойствами цепных дробей. К сожалению, явного подтверждения своей гипотезе в литературе я пока не нашла.

Заключение

В процессе работы над проектом я изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при вычислении. Также в процессе работы я раскрыла свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

В данном проекте работа показывает значение цепных дробей в математике. Зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью, успешно применять к решению неопределенных уравнений. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения. Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределённых уравнений. Бесконечные цепные дробимогут быть использованы для решения алгебраических уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

Цель своей работы считаю достигнутой, так как в ходе исследования мною была: изучена история цепных дробей и применение их при решении заданий.

А в настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, и позволяют строить эффективные алгоритмы для решения задач.Список литературы

1. Арнольд В. И. Цепные дроби —М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.

2. Бескин Н. М..Замечательные дроби. Минск: Издательство «Вышэйшая школа» – 1980 – 124 с.

3. Журнал «Квант». Бескин Н. Цепные дроби (№1, 1970)

4. Журнал «Квант». Бескин Н. Бесконечные цепные дроби (N8, 1970)

5. Журнал «Квант». БескинН.Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о цепных дробях (N5,6, 1983)

6. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

7. ХинчинА.Я.. Цепные дроби. М.: Наука – 1978 – 112 с. с илл.