Проектная работа ЖЕМЧУЖИНА ГЕОМЕТРИИ : МНОГОГРАННИКИ

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Управление образования Северо- Казахстанской области

район имени Габита Мусрепова

КГУ «Целинная средняя школа»

Проектная работа

ЖЕМЧУЖИНА ГЕОМЕТРИИ : МНОГОГРАННИКИ

Выполнила: Деркач Анжелика , 10 класс

Научный руководитель: Гришкевич Анна Иосифовна

учитель математики

2014 год

Оглавление 1.Гипотеза. Цели. Задачи. ……………………………………………………..стр. 4

2. Введение или с чего всё началось…………………………………………..стр.5

3.Содержание:

3.1 История изучения видов многогранников………………………………..стр. 7

3.2 Определение многогранников…………………………………………….стр. 7

3.3 Правильные многогранники и теорема Эйлера………………………….стр. 7

3.4 Пифагор и многогранники…………………………………………………стр. 8

4. Многогранники и их разнообразие. ……………………………………….стр.10

4.1 Тела Платона – правильные многогранники……………………………..стр.11

4.2 Тела Архимеда- полуправильные многогранники………………………стр.16

4.3 Тела Кеплера- Пуансо – звёздчатые многогранники……………………стр.17

4.4 Тела Фёдорова- параллелоэдры…………………………………………. стр.22

4.5 Изгибаемый многогранник- флексор…………………………………….стр.22

5. Области применения правильных многогранников……………………..стр.23

5.1 Многогранники в науке (география, химия, биология, медицина)…….стр.24

5.2 Архитектура и многогранники……………………………………………стр.27

5.3 Многогранники в изобразительном искусстве………………………….стр.30

5.4 Многогранники и человек (игральная кость, ювелирные изделия, странные предметы)………………………………………………………………………стр.33

6. Заключение………………………………………………………………….стр.36

7. Библиография……………………………………………………………….стр.37

Абстракт

Цель исследования заключается в анализе специфики многогранников в истории и теории геометрии. В качестве гипотезы выступает предположение о том, что многогранники недостаточно глубоко изучены. Объект исследования: виды многогранников и области их применения. Процедура исследования состояла из следующих этапов: сбор и анализ материала, обзор работ учёных по данной тематике, проведение классификации многогранников и областей их применения. В качестве методов исследования применялись описательный, поисковый, метод сравнения и сопоставления, метод анализа и синтеза информации, полученной из различных источников. Новизна исследования заключается в том, что работа представляет собой интереснейший исторический материал, роль которого в геометрии весьма существенна. На основании полученных данных авторы пришли к выводам: с одной стороны появление новой теории о многогранниках расширяет кругозор учащихся, а с другой стороны практических задач по этим видам многогранников почти нет. Поэтому практическую часть данного объекта нужно значительно расширить и углубить. Область практического применения: как дидактический материал на уроках геометрии, истории, изобразительного искусства, черчения, литературы

Abstract

The aim of research is in the analysis of many-sided specifics in history and theory of geometry.

The hypothesis supposes, that many-sided are not studed enough. The object of research: types of many-sided and sphere of their employing.

The procedure of research consists of next steps: collection and analysis of material and survey of scientests’ works on this problem, classification of many-sided and sphere of there employing.

The methods of research were: descriptive, searching, method of comparison, method of analysis and synthesis of information, received from different sources.

Novelty of recearch is that the work represents the most interesting historical material, which role in geometry is very important.

In virtue of these facts the authors have come to the conclusions: on one hand, the new theory of many-sided extends the outlook of the pupils, and on the other hand, there are not many practical tasles on these many-sided.

That is why we should rather extend and deepen the practical part of this object.

The sphere of employing is: as a didactic material on the geometry lessons, history, arts, drawing and literature.

1.Гипотеза: я предполагаю, что раздел «Многогранники» недостаточно полно представлен в школьном курсе и школьных учебниках. Тема «Виды многогранников» сложна для изучения в виду отсутствия доступного для воспроизведения иллюстративного материала. Всё это не отражает в полной мере знания и умения учащихся о геометрических фигурах и их видах.

Цели: я решила исследовать данный раздел геометрии методом поиска в СМИ, интернете и изучить различные виды и формы многогранников и области их применения.

Передо мной стояли следующие задачи. Мне необходимо было:

- собрать большой иллюстративный материал по теме «Многогранник как геометрическая фигура, виды многогранников»;

- систематизировать знания об основных видах многогранников;

- проследить историю изучения видов многогранников;

- определить возможности применения многогранников в других сферах человеческой деятельности.

Поддержкой в работе, своего рода девизом для меня были слова Френсиса Бекона «В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи математики»

4

2. Введение

С чего всё началось?

Геометрия как теоретическая наука стала складываться в Древней Греции в период с VII по III век до нашей эры. Известно, правда, и более ранние сведения о геометрии, в частности о многогранниках, но это были отдельные разрозненные факты. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды.

Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Над её сооружением трудились ежедневно около 100 000 человек в течение 20 лет.

Источником наших сведений о египетской математике являются два папируса. Один из них, так называемый Московский, содержит самый замечательный результат в египетских измерениях – формулу для вычисления объёма правильной усечённой пирамиды. В Древней Греции основную роль в развитии геометрии сыграли так называемые философские школы. Самыми известными были школы: Фалеса, Пифагора, Платона, Александрийская и другие.

Фалес (635-548гг. до н.э.) из Милета определил высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что ему было известно, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами

В V веке до нашей эры центром дальнейшего прогресса математики становится Южная Италия.

Ведущая роль в развитии математики этого периода принадлежит Пифагору (570 – 470 гг. до н.э.). Пифагорейцы занимались правильными многоугольниками. Даже отличительным знаком их братства был правильный звёздчатый пятиугольник. Именно школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных выпуклых многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода – имеют форму правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму правильного додекаэдра имела вся Вселенная.

Другой знаменитой философской школой была школа Платона (V – IV вв. до н.э.). Её основатель – Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике. В трактате «Тимей» он изложил учение пифагорейцев

5

о правильных многогранниках, которые именно поэтому стали называться Платоновыми телами.

Более поздняя школа – Александрийская. В 344 году до нашей эры Александр Македонский начал завоевание Персии. После его смерти в 323 году до нашей эры весь Ближний Восток был в руках греков. Началась эпоха эллинизма, которая дала миру трёх знаменитых учёных: Евклида, Архимеда, Аполлония.

Евклид является центральной фигурой этого периода, а вместе с тем и всей древнегреческой математической науки. Его книга XIII посвящена теории правильных многогранников. «Начала» Евклида имеют огромное историческое значение. Их даже сопоставляют с Библией по влиянию на науку и культуру цивилизованных народов. Переведённые на все языки «Начала » почти до конца XVIII столетия оставалось единственным учебником, по которому изучали геометрию в университетах и школах Европы, единственным источником всякого геометрического познания.

Крупным учёным эпохи эллинизма был Архимед , живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед – один из немногих учёных античности. Он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Архимед был уникальным учёным – механиком, физиком, математиком. Он занимался изучением правильных многогранников, но, убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноимённые многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники. До нас дошла работа самого учёного, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название тела Архимеда.

Ещё одним крупным учёным той эпохи, занимавшимся изучением многогранников, был Аполлоний (260 – 170 гг. до н.э.). Ему принадлежит теорема о том, что отношение объёмов октаэдра и икосаэдра равно отношению площадей их поверхностей (задача Архимеда).

Использовались знания о многогранниках при строительстве дворцов и пирамид. Теория многогранников является современным разделом математики .Она тесно связана с топологией, теорией графов. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математике, линейном программировании, теории оптимального управления.

6

3.1 История изучения видов многогранников.

3.2 Определение многогранника. 3.3 Правильные многогранники и теорема Эйлера. 3.4 Пифагор и многогранники.

Многогранник – это часть пространства, ограниченная соединенными между собой многоугольниками так, что сами многоугольники являются его гранями, стороны – ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. В зависимости от видов многоугольников, образующих многогранники, они делятся на множество групп. Рассмотрим самые важные из них.

По форме различают правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.

Многогранник называется правильным, если:

1) он выпуклый;

2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;

3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;

4) все его двугранные углы равны.

В свое время Евклид доказал, что правильных многогранников существует всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, - и даже посвятил им XIII том «Начал». Стороны многогранников образованы правильными треугольниками (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), квадратами (куб) и правильными пятиугольниками (додекаэдр).

Название:	Число граней	Число ребер	Число вершин
Тетраэдр	4	6	4
Куб	6	12	8
Октаэдр	8	12	6
Додекаэдр	12	30	20
Икосаэдр	20	30	12

Названия многогранников имеют древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. «Эдра» -грань, «тетра» - четыре, «гекса» - шесть, «окта» - восемь, «додека» - двенадцать, «икоса» - двадцать

Удивительно то, что при огромном разнообразии правильных многоугольников, правильных многогранников из них можно получить лишь пять. И доказать это не сложно. Давно было замечено, что между числом граней, рёбер и вершин многогранника есть простое соотношение. По таблице видно, что сумма всех граней и числа вершин всегда на 2 больше числа рёбер. Это наблюдение верно для любого выпуклого многогранника и составляет содержание теоремы Эйлера. Теорема Эйлера: пусть Г-число граней,

7

Р- число рёбер, В-число вершин выпуклого многогранника. Тогда

Г+В=Р+2. Поэтому, можно сделать вывод, что существует лишь пять типов правильных многогранников.

Одним из свойств правильных многогранников является то, что каждый из них можно вписать в сферу (можно провести аналогию с правильными многоугольниками – их можно вписать в окружность). Но помимо этой сферы имеются ещё две: вписанная и, так называемая, «срединная» - та, которая проходит через середины рёбер многогранника. Все три сферы имеют общий центр, являющийся , к тому же, и центром многогранника. Это доказывает следующая таблица:

Название:	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объем
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Правильные многогранники еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания, изложенной им в трактате «Тимей».

Изучением многогранников занимался Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами.

Пифагорейцы использовали правильные многогранники для своих философских теорий. Они олицетворяли в них четыре сущности или "стихии", являлись основами бытия. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. По мнению древних, форму додекаэдра имела Вселенная, то есть они считали, что мы живем внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. Также вполне возможно отождествлять первые четыре многогранника с известными нам состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.

8

Иоганн Кеплер, немецкий астроном в 17 веке занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников. Он описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр.

Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника. А в 1812 году французский математик О.Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду.

Сделаю вывод: основные виды многогранников изучены еще во времена Древней Греции и Рима.

9

4. Многогранники и их разнообразие

4.1 Тела Платона – правильные многогранники

Платон развил теорию пифагорейцев.

Платоновы тела – это правильные многогранники, их грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон в каждой их вершине сходится одно и то же число ребер.

Называют Платоновыми телами: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Например,

1. поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

2. куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

3. октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

4. додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

5. поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.

10

11

12

13

14

15

4. 2 Тела Архимеда – полуправильные многогранники

Полуправильными называются такие многогранники, у которых все внутренние углы при вершинах равны, а гранями являются правильные многоугольники, возможно, и с разным числом сторон.

Впервые многогранники такого типа открыл Архимед. В несохранившейся книге «О многогранниках» им подробно были описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.

Это усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Самые простые из этих тел можно получить путем усечения правильных многогранников.

Помимо тел Архимеда существует еще две бесконечные серии полуправильных многогранников: призмы и антипризмы (получаются из призм путем поворота одного из оснований вокруг его центра и последующего соединения вершин оснований зигзагообразной).

16

4.3 Тела Кеплера-Пуансо – звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников из Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники, продолжив для этого их грани или ребра. Их всего четыре, но все они однородны, т.е. их грани образованы правильными многоугольниками одного вида.

Они также называются телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый звездчатый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой звездчатый додекаэдр, гранями которых являются правильные пентаграммы, которые соединяются в каждой вершине по пять в первом и по три во втором многограннике.

Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр (грани – правильные пятиугольники), и большой икосаэдр (грани - пересекающиеся треугольники). Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатые многогранники получить нельзя.

К звездчатым, но уже не правильным, многогранникам можно отнести звездчатый октаэдр, который был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им "Stella octangula" – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название "stella octangula Кеплера"- звезда восьмиугольная Кеплера.

17

18

19

20

21

4.4 Тела Федорова – параллелоэдры

Параллелоэдрами называются такие выпуклые многогранники, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства.

Эти многогранники были найдены и исследованы русским ученым Е. С. Федоровым в 1881 году, поэтому им и присвоили название «тела Федорова». Также Е. С. Федоров является одним из основоположников современной кристаллографии, в изучении которой многогранники имеют особо важную роль. Ученый выяснил, что все природные кристаллы исчерпываются пятью видами многогранников и их растяжений.

4.5Изгибаемый многогранник - флексор

Одним из последних достижений в изучении многогранников стало открытие в 1977 году американцем Р.Коннэлли изгибаемого самонепересекающегося многогранника – флексора (от англ. flex – сгибать, гнуть).

Существует предположение, что минимально возможное количество вершин флексора – 9.

Вслед за открытием изгибаемых многогранников появилась гипотеза Кузнечных мехов, говорящая о том, что для всякого флексора его объем при любых изгибаниях не изменяется.

Сделаю вывод: исследованы и систематизированы разнообразные виды многогранников.

22

5. Области применения и использование формы правильных многогранников

5.1 Многогранники в науке

В жизни мы постоянно сталкиваемся с различными видами многогранников, мы наблюдаем их везде: в науке, природе, искусстве, быту. Именно поэтому эти тела никогда не утратят свою актуальность и важность в современном мире.

География : гипотеза строения Земли

Казалось бы, практически невозможно найти взаимосвязь между столь разными науками, как геометрия и география. Но в 1976 году русские ученые Гончаров Н.Ф., Макаров В.А. и Морозов B.C. предоставили теорию, утверждающую, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, имеющего форму двух совмещенных правильных многогранников: додекаэдра и икосаэдра.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь расположено шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

23

Химия: кристаллы и кристаллические решетки

Многогранники определяют форму кристаллических решеток многих химических веществ.

Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO₄)₂ 12Н₂О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.

Недавно французские исследователи из лаборатории кристаллографии и материаловедения в Канне синтезировали оксид на основе алюмината, состоящий из  фуллереноподобных сфер, образованных атомами алюминия.

Внутри внешнего каркаса из 84 атомов алюминия расположена сфера из 126 атомов кислорода (А); следующий слой (B) образован 32 атомами стронция (синий цвет) и несколькими атомами висмута (жёлтый цвет). Четвёртый слой (C) состоит из 40 атомов кислорода, внутри его находится группа из 16 атомов висмута (D). И, наконец, в центре фуллереноида расположена структура из 12 атомов кислорода (E).

Молекулы фуллерена, имеющие форму различных многогранников, являются основой химии фуллерена, на которую возлагают большие надежды относительно открытия новых веществ и дальнейшего их применения в науке и технике.

24

Биология : молекулы и простейшие организмы

Многие простейшие организмы и молекулы имеют форму многогранника.

Например, одноклеточный организм - феодария, форма, которой точно передает икосаэдр. Подобная природная геометризация, возможно, вызвана тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Также существует водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов, — представляющая собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками. Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью, и более, чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из описанной выше формулы Эйлера.

Говоря о микромире, нельзя не упомянуть о додекаэдре и икосаэдре, являющимися относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру.

Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.

Биология : сколько углов у снежинки?

Есть имена, которые навсегда останутся в истории науки. Иоганн Кеплер - великий немецкий астроном открыл законы движение планет. А между тем написал книжку «Новогодний подарок, или Трактат о шестиугольном снеге». Размышления о «закономерной красоте форм природного

25

происхождения» заставили учёного мужа приглядеться к звёздочкам, тающим на ладони. А красота – вот она, мы видим её каждую зиму.

То, что лучей у снежинки шесть и расходятся они под углом 60,- открытие, может быть, не эпохальное, зато красивое. Сколько людей замечало это до Кеплера? Но именно он в 1611 году «озвучил» идею.

Не ошибся ли астроном? В детстве мы удивлялись тому, что снежинки никогда не повторяются. Да и существующие фотоколлекции их форм насчитывают по 5 тысяч снимков. При определённой температуре снежинки «рождаются» шестиугольными. Но по дороге к земле могут менять форму, превращаться в пластинки, стрелы, хлопья. В 1944 году в Москве падали «блюдца» диаметром 10 см, в Сибири они бывают и 30- сантиметровыми! Иногда в полёте снежинки разбиваются друг о друга в «алмазную пыль». Такой снег идёт в Якутии, а в Антарктиде он падает с голубого неба, на котором ни облачка.

Медицина: вирусы

Ранее считалось, что вирус должен быть совершенно круглой формы. Действительно, капсиды многих вирусов по форме почти идентичны сфере, однако электронная микроскопия показывает, что на самом деле эти капсиды представляют собой не сферы, а правильные многогранники. Чтобы установить их форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства позволяют экономить генетическую информацию.

26

5.2Архитектура и многогранники

В первую очередь многогранники широко применялись при строительстве пирамид. Эти сооружения поражают гранями, основаниями, пересечением рёбер, углов.

Первый в мире маяк- Александрийский маяк. При его возведении тоже использовались знания о многогранниках.

27

Используются многогранники в строгой японской архитектуре.

28

Перед вами музейно-развлекательный комплекс, созданный с помощью трёхмерного моделирования, здание музея само по себе является произведением искусства.

Создатель этого Музея Плодов Ицуко Хасегава, одна из немногих преуспевающих японских женщин-архитекторов, объясняет: «Геометрия трёх оболочек была проанализирована с помощью объёмных компьютерных построений. Каждая форма была образована путём вращения простых геометрических форм до получения сложных объёмов».

29

5.3 Многогранники в изобразительном искусстве

На протяжении веков многогранники ассоциировались с миром искусства. Многие художники разных эпох и стран испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике и оптике становятся основой нового искусства. Для многих художников многогранники являлись источником вдохновения и сокровищницей различных симметричных форм. Он считался сложной фигурой и изображался для того, чтобы подчеркнуть мастерство автора в правильном построении перспектив.

Обратимся к примерам.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452- 1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Им было сделано около 60 изображений многогранников, где он впервые применил технику жёстких рёбер. Сам Леонардо любил изготовлять каркасы правильных тел и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.

Ярким примером может служить работа А.Дюрера «Меланхолия». В самом деле, на гравюре решена сложная геометрическая задача построения перспективы додекаэдра.

30

В конце XV – начале XVI века одним из распространенных видов искусства была интарсия (от итал. intarsio - инкрустация). Она представляла собой мозаику, выполненную из пластинок дерева, разных по текстуре и цвету. Пожалуй, самым выдающимся мастером данного вида искусства был Фра Джованни да Верона. Большинство его мозаик известны тем, что на них изображены различные виды многогранников, в разработанной Леонардо технике жестких ребер.

Современный скульптор, американец, Джордж Харт воссоздал из дерева нарисованные в то время фигуры. В 2009 году автор организовал выставку своих работ, посвященную 500-летию книги Л.Пачоли.

Сам Джордж Харт, будучи математиком, художником и скульптором, уже давно изготавливает модели многогранников из подручных материалов. К примеру, им были сконструированы модель усеченного икосаэдра, сделанная из пластика и 150 CD-дисков, и модель произвольного многогранника, выполненная из склеенных между собой компьютерных дискет.

Сальвадор Дали обращался к правильному многограннику- додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних имела ВСЕЛЕННАЯ , то есть они считали , что мы живём внутри свода , имевшего форму поверхности додекаэдра. Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря». Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание, что изображено на

31

переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного ДОДЕКАЭДРА.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников , можно встретить во многих работах Мориса Корнелиса Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звёзды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы ни не узнали о ней. Но по какой –то причине он поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить восприятие всей фигуры.

32

5.4 Многогранники и человек

Игральная кость

Игральная кость — популярный источник случайности в настольных играх. Игральная кость обычно выполнена в виде шестигранного кубика с нанесенными на его стороны числами от 1 до 6.

В ролевых играх используются игральные кости с 4, 6, 8, 12 (в форме додекаэдра), 20 (в форме икосаэдра) и другим количеством граней.

Лоу Зоччи изобрел зоччиэдрон - игральную кость со 100 гранями.

Ювелирные изделия

В состав почти любого ювелирного изделия непременно входят драгоценные камни. Чтобы придать камням красоту и игру цветов, их шлифуют, причем большинству камней придают форму

многогранника или с гладкими или сфероидальными поверхностями.

Самая простая форма - это двойная четырехгранная пирамида (октаэдр); верхняя часть называется павильоном или кроной, а нижняя кулассою.

33

Наибольшей ценностью обладают такие драгоценные камни как бриллианты. Все бриллианты — многогранники с числом граней от 8 до более 100. В основу построения бриллиантового многогранника положен принцип полного внутреннего отражения света. Сегодня известно более 100 геометрических форм бриллиантов.

Странные предметы

В последнее время на территории различных стран находят весьма странные предметы. Например, На Севере Европы во многих местах были найдены бронзовые полые вещицы, от 4 до 11 сантиметров в диаметре, имеющие форму додекаэдра и икосаэдра. Вершину каждого из них увенчивает шишечка, а по центру каждой грани расположены отверстия различного диаметра. Ученые относят их к III-IV векам нашей эры.

Самое интересное, что нельзя ничего сказать о том, для чего они применялись. Одним из предположений является, что древний додекаэдр служил для астрологических или астрономических предсказаний: двенадцать поверхностей 5-угольников вызывают в представлении 12 знаков зодиака и 12 месяцев года, а 30 рёбер, которые отделяют одну плоскость от другой, помноженные на 12, дают 360 — число дней в году.

Также есть версии, что эти предметы использовались в качестве инструментов

34

или подставок для свечей и цветов, или игрушек.

Любопытно, что в Южном Вьетнаме, в дельте реки Меконг, найдено 30 подобных предметов, сделанных из золота.

Также, на территории Шотландии было найдено сотни высеченных из камня шариков, около 7 сантиметров в диаметре, датировованных приблизительно 2000 лет до нашей эры. На некоторых из них высечены линии, соответствующие граням правильных многогранников.

Для чего применялись эти предметы, тоже остается загадкой.

Сделаю вывод: человек использует правильные многогранники в науке, архитектуре, быту. Встречаются они и в природе.

35

Заключение

Есть в школьной геометрии особая тема, которую хочется изучать и исследовать. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные факты и гипотезы.

Создавая этот проект, мы поставили перед собою задачу: создать подборку материала по теме «Многогранники», которая может применяться учителями при изучении данной темы на уроках геометрии так и вне урока, а то есть на факультативах и кружковой работе. Хотелось бы составить материал по решению задач, но их оказалось малое количество.

Большой исторический материал, который включён в проект, поможет ближе познакомиться с началом геометрии. Работая с учебниками геометрии, мы пришли к выводу, что материал, а именно теория очень древняя. Насчитывается очень много лет до нашей эры. Содержание остаётся основой изучения, но вот о практическом содержании учебников можно и подумать с точки зрения современных требований применения компьютерной техники и новых технологий.

Собирая и обрабатывая весь материал, мы учились выделять самое главное, что будет интересно узнать ученикам. Учитывая гуманитарную направленность личности каждого ученика, мы постарались показать связь этой темы со многими сферами нашей жизни.

Если бы геометрию изучали осознано, то наши красивые дома, аквапарки и крытые рынки не складывались бы как карточные домики. А вот Египетские пирамиды стоят 4 000 тысячи лет и ещё простоят много.

36

Библиография

1. Гусев, Ж. Кайлосов, А. Кагазбаева. Геометрия- 11.- Алматы: Мектеп, 2011

2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2003.

3. Бендунидж А.Д.Золотое сечение.- журнал Квант №8, 1993.

4. Р. Бьювэл, Э. Джильберт. Секреты пирамид. –Москва,1997.

5. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.

6. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2002.

7. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.

8. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.

9. В.Келер .Приглашение к открытию.- Алматы: Мектеп, 1999.

10. Д. Лейзер .Создавая картину Вселенной.- (Перевод с английского М.: Мир, 1988.

11.Д. Пидоу .Геометрия и искусство. - Москва, 1999.

12.Потапов В.Сколько углов у снежинки?.- журнал «GEO» №12, 2003.

13.Хрестоматия по истории математики: Пособие для студентов физ. - мат. (Под редакцией А.П. Юшкевича, М.; Просвещение, 1976.)

14.Цейтен Г.Г.История математики в древности и в средние века.- М.; Л.; 1992.

15.Шафранский И.И. Симметрия в природе.- М.: Мир, 2011.

37

Отзыв

на научный проект

«Жемчужина геометрии: многогранники»

по секции «математика и информатика»

Научный проект состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении раскрывается актуальность проблемы, цель, задачи и методы её достижения, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе говорится об истории изучения многогранников, о правильных многогранниках, даётся обзор работ учёных по данной тематике.

Во второй главе даётся классификация многогранников, рассматриваются все виды многогранников и их особенности.

В третьей главе раскрываются области применения многогранников. Особенное внимание уделяется роли человека в данном объекте. Очень правильно данная тема трактуется в изобразительном искусстве.

Предоставляют интерес и имеют, на наш взгляд, особую значимость обоснованные фактическим материалом и исследованные автором научные результаты. Собран интересный иллюстративный материал, который расширяет кругозор учащихся.

Наряду с положительным, что было отмечено выше, в проекте имеются отдельные недостатки. Хотелось бы в качестве замечания отметить то, что практическая сторона ещё не достаточно глубоко исследована. Поэтому практическую часть данного объекта нужно значительно расширять и углублять. Однако отмеченное не снижает достаточно высокого уровня работы.

В целом работа по актуальности соответствует требованиям, предъявленным к научным проектам, оценивается кА законченное научное исследование, имеющее научную новизну и практическую ценность, и допускается к защите.

Научный руководитель: Гришкевич Анна Иосифовна