Разные виды окружностей и теоремы, с ними связанные.

“А в окружность я влюбился и на ней остановился.”

Информационно-учебный проект.

Тема: окружность

Цель проекта: Изучить свойства, виды разных окружностей и теоремы, с ними связанные.

Я начал свою работу с того , что изучил свойства окружности в школьном курсе геометрии по учебнику А.В.Погорелова “Геометрия 7-9” и материал за рамками школьного курса. При сборе информации из различных источников и в работе над проектом я расширил свои знания и буду продолжать дальше изучать эту тему и делиться знаниями с одноклассниками и всеми , кому это интересно.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Замкнутый круг, не имеющий внутренное пространство.

Другие определения

Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

• Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.

• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

• Окружность называется единичной, если ее радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

• Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Теорема Птолемея.

Клавдий Птолемей (), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник  вписан в окружность, то

, откуда 

Из треугольника  по теореме косинусов находим

Аналогично из треугольника :

Сумма этих косинусов равна нулю:

Отсюда выразим :

Рассмотрим треугольники  и  и найдем :

Отсюда

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

Докажем, что вокруг четырехугольника  можно описать окружность.

Обозначим через  радиус окружности, описанной вокруг . Из точки  опустим перпендикуляры на прямые  и  и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и  соответственно. По теореме синсов для треугольника  получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен ):

По теореме синусов для треугольника  имеем

Следовательно,

Таким же образом, рассматривая треугольники  и  получим соотношения

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

или

откуда следует, что точки  и  лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника  можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках  и  как на диаметрах. Первая из них проходит через точки  и  (углы  и  прямые), а вторая — через точки  и  (). Углы  и  равны как вертикальные, откуда следует, что , а значит, и . Отсюда , и вокруг четырехугольника  можно описать окружность.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную  экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

,

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.

Длина единичной полуокружности обозначается через π.

π

Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая, проходящая через две различных точки на окружности, называется секущей.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

В данном случае угол АОВ является центральным.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. В данном случае угол ABC является вписанным.

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Две окружности, радиусы которых пересекаются под прямым углом, называются

ортогональными.

• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

• Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.

• Длину дуги окружности радиуса R, образованной центральным углом , измеренным в радианах, можно вычислить по формуле L = φR.

• Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле .

• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.

• Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

• Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.

• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле и дуги напротив нее.

• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

• Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

• При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

• Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.

• Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Длина окружности: C = 2∙π∙R = π∙D

Радиус окружности: R = C/(2∙π) = D/2

Диаметр окружности: D = C/π = 2∙R

Две окружности, заданные уравнениями:

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда A1 = A2 и B1 = B2.

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

• Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A₁ и B₁, то A₁B₁ = A₁B + AB₁.

• Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T₁

  • биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁

  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.

  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.

• Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

• Радиус вписанной в треугольник окружности равен

• Если AB — основание равнобедренного , то окружность, касающаяся сторон  в точках A и B, проходит через точку О.

• Формула Эйлера: R² − 2Rr = | OI | ², где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.

• Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄. Лемма Вертера: пусть окружность V касается сторон AB, AC и дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Тогда точки касания окружности Vсо сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. Это утверждение — частный случай леммы Накаямы

• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .

• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно .

• Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности равно , где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.

• Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности может так же быть найдено по формуле 

• Теорема о трезубце или о трилистнике: Если W — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью, а I — центр вписанной окружности, то | WI | = | WB | = | WC |.

В многоугольнике

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру

Описанная окружность.

Описанная окружность — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства

• Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

• Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника:

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

• У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

• 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.

• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

a,b,c — стороны треугольника,

α — угол, лежащий против стороны a,

S — площадь треугольника.

Положение центра описанной окружности

Пусть  радиус-векторы вершин треугольника,  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

Уравнение описанной окружности

Пусть  координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,  — координаты центра описанной окружности. Тогда

а уравнение описанной окружности имеет вид

Для точек , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

• Формула Эйлера: Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d² = R² − 2Rr.

Для четырехугольника.

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность вокруг:

• любого прямоугольника (частный случай квадрат)

• любой равнобедренной трапеции

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Пусть на плоскости даны две точки A и B. Рассмотрим все точки P этой плоскости, для каждой из которых

,

где k — фиксированное положительное число. При k = 1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку AB; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Радиус окружностей Аполлония равен:

• Отрезок PC между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой AB является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним.

• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства (n  2). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для всех точек на окружности действительно согласно с теоремой Пифагора: x² + y² = 1.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

• Окружность — геометрическое место точек, расположенное на данном расстоянии от данной точки, на одной плоскости — кривая.

• Круг — геометрическое место точек, расположенное не дальше чем окружность, на одной плоскости — фигура.

Также к единичной окружности можно отнести раздел алгебры ,как тригонометрия.

Тригонометрия.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку (x,y) на единичной окружности с началом координат (0,0), мы получаем отрезок, находящийся под углом α относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos α = x

sin α = y

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение x² + y² = 1, мы получаем:

cos²α + sin²α = 1

Обратите внимание на общепринятое написание cos ²x = (cos x)².

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin(x + 2πk) = sin(x)

cos(x + 2πk) = cos(x)

для всех целых чисел k, иными словами, k принадлежит Z.

Комлексная плоскость.

В комплексной плоскости единичную окружность описывает множество :

Множество G удоволетворяет условиям мультипликативной группы (с нейтральным элементом eⁱ⁰ = 1).

Теорема о секущих — теорема планиметрии. Формулируется следующим образом:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Если перевести это утверждение на язык букв (согласно рисунку справа), то получится следующее:

Частным случаем теоремы о секущих, является Теорема о касательной и секущей:

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Использованные интернет ресурсы:

www.wikipedia.org

А также литература: Геометрия 7-11 классы Определения, свойства, методы решения задач в таблицах Е.П.Нелин