Решение квадратных уравнений над телом кватернионов

Тригонометрическая форма кватерниона

Пусть дан кватернион

Представление кватерниона q в виде:

где

называется его тригонометрической формой.

Так как и то можно считать мнимой единицей. Причем, у каждого кватерниона своя мнимая единица. В этом заключается существенное отличие тригонометрической формы кватерниона от тригонометрической формы комплексного числа.

Возведение кватерниона в степень

Пусть кватернион q записан в тригонометрической форме:

Тогда справедлива формула

Аналогичная формула имеет место и для возведения в степень комплексного числа.

,

Извлечение корня n- ой степени из кватерниона

Пусть кватернион q записан в тригонометрической форме:

И пусть Тогда справедлива формула

Аналогичная формула имеет место и для извлечения корня n- ой степени из комплексного числа.

Пусть и

0

Корень квадратный из кватерниона a имеет бесконечно много значений, находящихся по формуле:

где

Решение квадратных уравнений вида над телом кватернионов.

Решение квадратных уравнений вида над телом кватернионов зависит от значения коэффициента p .

Возможны случаи

Получаем уравнение:

Значение находится по формуле извлечения корня n- ой степени из кватерниона. Уравнение имеет два различных решения

, два различных решения

, единственное решение

, бесконечно много решений

Решение уравнения находится по следующей формуле.

Причем, если то уравнение может иметь одно, два или бесконечно много решений.

Если то уравнение имеет два различных решения.

Ищем решение уравнения в виде

Пусть и

Введем обозначения:

Тогда возможны две ситуации

не коллинеарен

коллинеарен

коллинеарен

Введем мнимую единицу

Уравнение будет иметь два различных решения, которые находятся по формуле:

не коллинеарен

Пусть выполняется условие

При этом условии

Тогда уравнение имеет два различных решения, которые находятся по следующей формуле:

Где