Решение приведённых квадратных уравнений

Конарева Л.А.,

учитель математики МОУ «Школа №97 г.Донецка»

Решение приведённых квадратных уравнений.

Часто приходится сталкиваться с тем, что учащиеся не умеют решать устно приведённые квадратные уравнения, а это умение даёт значительную экономию времени при решении дробных рациональных уравнений, задач на составление уравнения. Хочу поделиться своим опытом в обучении учащихся нахождению целых корней приведённых квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и теоремы обратной теореме Виета.

Уравнение x²+px+q=0 приведённое квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней его х₁+х₂= - p, а произведение корней уравнения равно свободному члену х₁х₂=q. В первую очередь смотрим на свободный член, чтобы определить знаки корней приведённого квадратного уравнения, а для этого вспомним таблицу знаков при умножении двух чисел:

* *

* *

При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, тогда если произведение двух чисел положительно, то множители имеют одинаковые знаки.

При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, тогда если произведение двух чисел отрицательное число, то множители имеют разные знаки.

Далее вспомним правило сложения чисел с разными знаками…и рассмотрим примеры:

а) -5+7=2; б)-12+17=5; в)6+(-9)= -3; г)-15+8 =7.

Сделаем вывод: если сумма двух чисел с разными знаками положительная, то больше по модулю положительное число, если сумма двух чисел с разными знаками отрицательна, то по модулю больше отрицательное слагаемое.

а) х²-6х+8=0

По теореме Виета: х₁+х₂=6

Х₁Х₂=8

Так как произведение корней положительное число, то корни имеют одинаковые знаки либо оба корня положительные, либо оба числа отрицательные, сумма корней положительна, следовательно оба корня положительные числа. Число 8 можно представить в виде произведения 1*8=2*4, но 1+8=9 не равно 6, а 2+4=6 и2*4=8, следовательно по теореме обратной теореме Виета х₁=2; х₂=4.

б) х²+6х+8=0

По теореме Виета: х₁+х₂= -6;

х₁х₂= 8

Так как произведение корней положительно, а сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными числами и8=1*8=2*4,следовательно х₁= - 4; х₂= - 2 по

теореме обратной теореме Виета эти числа есть корни уравнения, так как х₁+х₂=-4+(-2)=

= -6=-p; х₁х₂= -4(-2)=8=q.

в) х²-2х-8=0

По теореме Виета: х₁+х₂=2

х₁х₂ = -8

Произведение корней равно -8, то корни имеют разные знаки, сумма корней положительна, тогда по модулю больше положительный корень, следовательно х₁= -2; х₂=4 и по теореме обратной теореме Виета эти числа являются корнями данного уравнения, так как х₁+х₂= -2+4=2; х₁х₂= -8.

г) х²+2х-8=0

По теореме Виета: х₁+х₂= -2

х₁х₂ = -8

Произведение корней меньше нуля, то корни имеют разные знаки, сумма корней тоже меньше нуля, значит по модулю больше отрицательный корень и х₁= -4; х₂=2 и по теореме обратной теореме Виета эти числа есть корнями уравнения.

д) х²+11х+10=0

По теореме Виета х₁+х₂= -11

х₁х₂=10

Произведение корней положительное, следовательно корни имеют одинаковые знаки, а так как сумма корней отрицательная, то оба корня отрицательные х₁= -10; х₂= -1 и по теореме обратной теореме Виета эти числа являются корнями данного уравнения.

е) х²- 9х- 10=0

ПО теореме Виета х₁+х₂= 9

х₁х₂= -10

х₁=10; х₂= -1, а так как х₁+х₂=10+( -1)=9= -p и х₁х₂=10*( -1)= -10=q, то полученные числа по теореме обратной теореме Виета являются корнями данного уравнения.

Далее коллективно решаются уравнения:

а)х²- 7х+10=0 (х₁=2; х₂=5); б) х²-3х-10=0 (х₁= -2; х₂=5); в) х²+7х+12=0 (х₁= -4; х₂= -3);

г) х²-х-12=0 (х₁= -3; х₂=4); д) х²- 7х+6=0 (х₁= 1; х₂= 6); е) х²-5х-6=0 (х₁= -1; х₂=6).

Потом проводим математический спринт (работа в парах):

а)х²-8х+15=0; б)х²-2х-15=0; в) х²-9х+20=0; г) х²+9х+18=0; д) х²+14х+48=0; е) х²-х-56=0;

Далее предлагается решить уравнение х²-4х+2=0. Чаще всего ребята принимаются решать

Данное уравнение как и ранее подбором корней, но это сделать не возможно. Решаем уравнение по второй формуле а=1; k=== -2; с=2.

D₁=k²- ac=(-2)²-1*2=4-2=2

X₁=;X₂=; получим Х₁=2+; Х₂=2-

Вывод: не все приведённые квадратные уравнения можно решить подбором корней, а вот проверку можно выполнить, используя теорему обратную теореме Виета:

Х₁+Х₂=(2+)+(2-)=4=b; Х₁Х₂=(2+(2-)=2²- ()²=4-2=2=q.

Решим дробное рациональное уравнение:

+ = ; ОДЗ: х = -3; х = 3.

- =;

3( х+3) – 6( х -3) = 1(х-3)²;

х² – 3х -18 =0;

По теореме Виета х₁+х₂ =3

х₁х₂ = - 18

х₁= 6; х₂= - 3 не входит в ДОЗ.

Ответ: х = 6.

Рассмотрим решение задачи на совместную работу:

Две бригады рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 3 часа. Сколько времени потребуется каждой бригаде для выполнения этого задания, если первая бригада может сама выполнить его на 8 часов быстрее второй ?

Задание 1 часть. Пусть первая бригада сама выполнит задание за х часов, то вторая за (х+8) часов. За 1 час первая бригада выполняет часть задания, вторая часть задания, вместе ( +) часть задания, а по условию часть задания.

Составим и решим уравнение:

+=; ОДЗ: х = 0; х = - 8

3(х+8) + 3х = х(х+8)

х² + 2х – 24 = 0

По теореме Виета х₁ + х₂ = - 2

х₁х₂ = - 24

х₁= 4; х₂ = - 6 не удовлетворяет условию задачи.

Первая бригада может самостоятельно выполнить задание за 4 часа, то вторая бригада за

4 + 8 =12(ч).

Ответ: 4 часа и 12 часов.

Уважаемые коллеги желаю успеха Вам и вашим учащимся.

Литература:

Алгебра. 8 класс. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, «Просвещение»,2013.

Сборник заданий для аттестации по алгебре учащихся 7-9 классов. Литвиненко Г.Н.,

Федченко Л.Я., Донецк, 2000.