Структура и виды геометрических задач (обобщение опыта)

16

МБОУ «Большеусинская средняя общеобразовательная школа»

Чепкасова Ольга Васильевна,

учитель математики

Обучение решению геометрических задач

(обобщение опыта)

Введение

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении геометрических задач состоят в том, что школьникам не даются знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического обоснования и осмысления.

В первой главе показаны составные части задачи, их взаимосвязь, приведены примеры схематических записей, обоснована необходимость вычленения частей задачи

I. Составные части задачи

Решение задачи – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задаче, надо её внимательно изучить, установить, в чём состоят её требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых, надо решать задачу. Всё это называется анализом задачи.

I. 1.Условия и требования задачи

Естественно перед решением задачи её нужно внимательно прочитать. Первое, что мы замечаем при чтении задачи, состоит в следующем: в ней имеются определённые требования и утверждения. Часто требование в задаче формулируется в виде вопроса, но всякий вопрос предполагает требование найти на него ответ, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием. Формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи (иногда условием задачи называют всю формулировку задачи, т.е. условие и требования вместе).

Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи, - это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (нерасчленимых далее) условий; требований в задаче может быть так же не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и условия задачи на элементарные условия и требования.

Рассмотрим примеры:

1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5см и 12см. Найти катеты треугольника.

В этой задаче утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника».

Далее можно вычленить такие элементарные условия:

1. треугольник прямоугольный;

2. в него вписана окружность;

3. точка касания делит гипотенузу на два отрезка;

4. длина одного отрезка 5 см;

5. длина другого 12см.

Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных требования:

1. найти длину одного катета треугольника;

2. найти длину другого катета треугольника.

2. Из всех цилиндров заданного объёма наитии цилиндр с наименьшей полной поверхностью.

Условие этой задачи («из всех цилиндров заданного объёма») можно понимать так, что рассматривается множество цилиндров, объём которых равен некоторому числу V (здесь V является параметром). Требование задачи состоит в том, чтобы из заданного множества цилиндров найти такой, полная поверхность которого наименьшая. Соотнесём это требование с указанным условием. Ясно, что полная поверхность рассматриваемых цилиндров выступает в качестве переменной величины. Надо найти минимум этой переменной. Для этого, эту переменную следует представить как функцию от другой переменной. В качестве последней можно взять радиус основания цилиндра. Итак, условия задачи таковы:

1) рассматривается множество цилиндров, объём которых равен V (V – параметр);

2) радиус основания этих цилиндров есть переменная r;

3) полная поверхность S этих цилиндров есть некоторая функция S(r).

Требования задачи:

1. найти функцию S(r);

2. найти такое значение r, при котором S(r) принимает наименьшее значение.

Направленность анализа задачи на её требования состоит ещё и в том, что особое внимание необходимо уделить выяснению сущности требования задачи, четкому определению того, что нужно найти, сделать в задаче.

Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены вычлененные условия. Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики.

Рассмотрим пример: К двум окружностям, радиусы которых 4см и 6см, проведены внутренние общие касательные, оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей.

Эта задача содержит такие условия:

1. дана окружность центра О₁, радиус которой 4 см;

2. из некоторого другого центра О₂ проведена окружность радиуса 6см;

3. эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные;

4. общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны.

Так объектом первого условия является окружность, а её характеристикой: радиус этой окружности равен 4см. Во втором условии объект – окружность с характеристикой: её радиус 6см. В третьем условии два объекта: указанные выше окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвёртое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны.

Итак, в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов.

Возникает вопрос: нужен ли такой анализ для решения задачи? Ведь обычно, решая задачи, мы не производим такого анализа. Но мы этого просто не замечаем, ибо обычно такой анализ производится устно по ходу решения.

I. 2. Схематическая запись задач

Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которая приведена выше, конечно мало удобна. Нужна более удобная, боле компактная и в то же время достаточно наглядная форма записи анализа задачи. Такой записью является схематическая запись задачи. Для схематической записи геометрической задачи полезно использовать чертёж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований. Укажем некоторые из них:

1. Чертёж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур) с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых её характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или её элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в задаче никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми обозначениями или придумать наиболее удобные.

2. Этот чертёж должен соответствовать задаче. Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид (прямоугольный, равнобедренный и др.), то надо построить какой-либо разносторонний треугольник.

3. При построении чертежа нет необходимости выдерживать строго какой-либо определённый масштаб. Однако желательно соблюдать какие-то пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Если по условию задачи сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана треугольника, то соответствующий ей отрезок на чертеже должен проходить приблизительно через середину стороны треугольника и т.д.

4. При построении чертежей пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения этих фигур. Там, где это можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.

Кроме чертежа, для схематической записи геометрических задач используется ещё краткая запись всех условий и требований задачи. В этой краткой записи, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условиях задачи. Название фигур или отдельных её частей желательно заменять записью их определений. Например, вместо того, чтобы писать: ABCD – трапеция, можно писать: AD || CD. В краткой записи можно использовать, там, где целесообразно, стандартные математические знаки (знак принадлежности, пересечения и т.д.)

Рассмотрим на примерах, как строятся схематические записи геометрических задач с помощью чертежей:

Диагональ трапеции перпендикулярна к её основаниям; тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120⁰, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7см; большее основание равно 12см. Найти среднюю линию трапеции.

Основным объектом этой задачи является трапеция. В этой трапеции диагональ перпендикулярна к её основаниям. Если начать чертить эту трапецию обычным способом, начиная с построения сторон, то можно ошибиться. Лучше начать построение с указанной диагонали. Диагональ перпендикулярна обоим основаниям. Это можно представить так: Диагональ – это вертикальный отрезок, от концов которого отходят два горизонтальных отрезка (основания трапеции), причем в разные стороны. Ясно, что углы трапеции вершин, которые соединяет эта диагональ, должны быть оба тупыми. Действительно, в задаче дано, что угол при большем основании равен120⁰. Теперь достроить эту трапецию уже нетрудно. Пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, запишем все условия и требования задачи. Получаем такую схематическую запись (рис.1):

Рис. 1

Дано: 1) AB || CD; 2) ABAC; 3) СDAC; 4) ⁰; 5) AB = 12 см; 6) AD = 7см;

1. AM = MD; BN = NC.

Найти: MN.

II. Сущность и структура решения геометрической задачи

Решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ. Если проанализировать решение какой-либо задачи, можно заметить что оно состоит из отдельных шагов, при этом каждый шаг решения есть применение какого-либо общего положения математики (правила, закона, теоремы, формулы) к отдельным условиям задачи или к полученным следствиям из этих условий.

II. 1. Что значит решить геометрическую задачу

Рассмотрим решение следующей задачи:

Длины оснований трапеции равны 4см и 10см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из диагоналей.

Сначала построим схематическую запись этой задачи (рис. 2):

Рис. 2

Дано: AB||CD; AM = MD; BN = NC; AB = 10 см; CD = 4 см.

Найти: MK и NK.

Решение: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. Значит, MN||AB и MN||CD. Диагональ АС делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим каждый из них. В треугольнике АВС отрезок NK является средней линией, т.к. NK как часть отрезка MN параллельна АВ, и точка Nпо условию середина стороны BC. А средняя линия треугольника равна половине его основания. Значит, KN=0,5АВ, а т.к. АВ=10 см, то KN=5 см. Аналогично рассматривая треугольник АСD, получаем, что MK есть средняя линия треугольника и поэтому МК=0,5CD, но CD=4см, следовательно МК=2см.

Приведённое решение можно представить в виде такой схемы:

№ шага	Общие положения математики	Условия задачи или их следствия	Результат
1	Средняя линия трапеции параллельна её основаниям	MN средняя линия трапеции ABCD	MN||AB MN||CD
2	Диагональ делит трапецию на два треугольника	ABCD – трапеция, АС - её диагональ	ABC и АCD - треугольники
3-4	Отрезок, проходящий через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией треугольника	В треугольнике АВС точка N – середина стороны ВС и МК||АВ, в треуг. ACD точка М – середина AD и MK||CD	NK – средняя линия треуг. АВС, МК - средняя линия треуг. ACD
5-6	Средняя линия треугольника равна половине основания	NK – средняя линия треугольника АВС, АВ=10см; МК - средняя линия треугольника ACD, CD=4см	KN=0,5АВ KN=5см МК=0,5CD, МК=2см.

Из приведённого примера можно сделать следующий вывод:

Решить геометрическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, - её ответ.

II. 2. Структура процесса решения задачи

В предыдущем разделе мы выписывали решения задач, но эти решения представляли лишь изложение самого решения. Но как эти решения были найдены, как убедились, что они правильные? Если под решение задачи понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения её решения, то, очевидно, этот процесс состоит нетолько из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.

Из каких же этапов состоит процесс решения задачи?

Получив задачу, первое, что нужно сделать, - разобраться, что это за задача, каковы её условия, в чем состоят её требования, т.е. провести анализ задачи, о чём говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

Тот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи, построение которых составляет второй этап процесса решения задачи.

Анализ задачи и построение её схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения задачи. Этот поиск способа решения и составляет третий этап процесс решения задачи.

Когда способ решения задачи, его нужно осуществить, - это и будет четвёртый этап процесса решение задачи – этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения задачи.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо ещё произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Всё это составляет шестой этап процесса решения задачи.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо чётко сформулировать ответ задачи, - это седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях можно произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения ит.д. Всё это составляет последний, конечно необязательный, восьмой этап процесса решения задачи.

Структура процесса решения задачи зависит от характера задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.

Приведённая выше схема процесса решения задачи является лишь примерной. При фактическом решении указанные этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск пути решения. При этом план решения устанавливается не до осуществления решения, а в процессе. Тогда поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Порядок этапов тоже может меняться.

Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они имеются (в том или ином виде) в процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска способа её решения, осуществления решения, проверка решения и формулирование ответа. Остальные три этапа (схематическая запись, исследование задачи и заключительный анализ решения) являются не обязательными.

II. 3.1. Стандартные и нестандартные задачи

Непосредственное решение задачи состоит из последовательных шагов (действий), каждый из которых есть применение некоторого общего положения математики к условиям задачи или к их следствиям. Поэтому отыскание этих шагов есть самое главное, что нужно сделать, чтобы решить задачу. Математика и занимается тем, что устанавливает для многих задач правила, пользуясь которыми можно установить последовательность шагов для решения любой задачи данного вида. Такие задачи называются стандартными. Для многих видов стандартных задач такие правила уже давно найдены. Эти правила в математике излагаются в различных формах.

1. Правило – определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Отсюда ясна последовательность нахождения синуса (а следовательно и угла): найти противолежащий катет, найти гипотенузу, найти отношение.

2. Правило – теорема: средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Программа решения проста: установить длину оснований, найти их полусумму. Это и будет длина средней линии трапеции.

Процесс решения стандартных задач имеет следующие особенности:

1)Анализ задачи сводится к установлению (распознаванию вида) вида задач, к которому принадлежит заданная.

2)Поиск решения состоит в составлении на основе общего правила или общего положения программы – последовательности шагов решения задач данного вида (если такая программа не рассматривается в курсе математики). Естественно, что нет надобности эту программу формулировать в письменном виде, достаточно её про себя наметить.

3)Само решение стандартной задачи состоит в применении общей программы к условиям данной задачи. Если же некоторые шаги программы решения требуют для своего выполнения также каких-то программ, то в отношении их производятся те же операции.

Отсюда следует, что, для того чтобы легко решать стандартные задачи (а они являются основными математическими задачами, а все остальные сводятся к ним):

- помнить (держать в памяти) все изученные в курсе математики общие правила (формулы, тождества) и общие положения (определения и теоремы).

- уметь развёртывать свёрнутые общие правила, тождества, формулы, определения и теоремы в программы – последовательности шагов решения задач соответствующих видов.

Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Рассмотрим пример с тем, чтобы выяснить особенности их решения.

Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12см и 20см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение: построим схематическую запись.

Дано: 1)АВ||CD, 2)AD=BC, 3)AC ┴ BD, 4)АВ=20 см, 5)CD=12 см.

Найти: S_тр.

Рис. 3

Для вычисления площади трапеции имеется формула S_тр. = 0,5(a+b)h, где a и b – длины оснований трапеции, а h – длина её высоты.

Основания трапеции заданы; следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

Проведём высоту трапеции (рис. 3). Это удобно сделать так: проводим через точку О (пересечение диагоналей) MN_┴AB. Тогда MN и есть искомая высота h.

Т.к. трапеция равнобедренная, то MN есть ось симметрии трапеции, и поэтому точки M и N – середины соответствующих оснований. Зная основания трапеции, находим, что AM=10 см, DN 6см. Также получаем, что AOM = DON = 45⁰.

Рассматривая треугольники AOM и DON, получаем, что они прямоугольные и равнобедренные. Тогда ОМ = АМ = 10см, ON = DN = 6см. Следовательно, h = MN = MO + ON = 10 + 6 = 16 см.

Теперь по указанной формуле можно вычислить и площадь трапеции, найдём S_тр. = 256 см².

Процесс решения этой задачи состоит из следующих этапов:

1. задачу вычисления площади трапеции свели к задаче нахождения высоты трапеции;

2. задачу нахождения высоты трапеции разбили на две подзадачи: а) нахождение отрезка OM высоты MN; б) нахождение длины отрезка ON той же высоты;

3. задачи 2 (а, б) свели к двум задачам: а) распознавание вида прямой MN по отношению к заданной трапеции; б) определение сторон OM и ON треугольников AOM и DON;

4. в результате решения задачи 3 (а) установили, что MN есть ось симметрии трапеции. Это даёт возможность найти AM и DN, а также углы AOM и DON;

5. Результаты решения задачи 4 и условие перпендикулярности диагоналей трапеции дают возможность установить, что треугольники AOM и DON прямоугольные и равнобедренные;

6. Следовательно, задача 3 (б) сводится к такой: найти катет прямоугольного равнобедренного треугольника, если известен другой катет.

Решив задачу 6 , возвращаемся к задаче 2, а затем к исходной задаче.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

1.Сведение (путём преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче.

2.Разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных задач.

В зависимости от характера нестандартной задачи используется либо одна из операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции применяются неоднократно.

II. 3.2.Распознавание вида задач.

Приступая к решению задачи, первое, что нужно установить, - это: что за задача? Какого она вида, типа? Иными словами, нужно распознать вид задачи. Ведь, зная вид задачи, в большинстве случаев сразу можно определить и способ решения задачи, т.к. в курсе математики для многих видов задач имеются общие правила их решения. Первым признаком, по которому все математические задачи, а значит и геометрические, делятся на отдельные виды или классы, является характер требований задачи. По этому признаку задачи делятся на три класса:

1.Задачи на нахождение искомого. В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы найти, распознать какое-то искомое. При этом искомым могут быть величина, отношение, какой-то объект, предмет, его положение, форма и т.д. Из геометрических задач сюда относятся вычислительные задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла, площадь фигуры, объём тела и т.п.

2.Задачи на доказательство или объяснение. В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы убедиться в справедливости некоторого утверждения, или проверить верность или ложность этого утверждения, или объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт. Все задачи, требование которых начинается со слов «доказать», «проверить» или содержащие вопрос «Почему?», обычно относятся к этому классу задач.

3.Задачи на преобразование или построение. К этому классу из геометрических задач относятся те, в которых требуется преобразовать или построить какую-нибудь фигуру, удовлетворяющую заданным условиям. Характерной особенностью задач этого класса является то, что в каждой из них заданы какие-либо объекты, из которых требуется построить, сконструировать другой объект с заранее известными свойствами.

Установление вида задачи даёт возможность получить готовый план её решения: применить известный метод решения подобных задач. Конечно, встречаются задачи, определить вид которых не удаётся, тогда надо использовать другие приёмы (например, разбиение на подзадачи известного вида).

II.3.4. Поиск плана решения задачи путём сведения к ранее решённым задачам

Известный советский математик, профессор Московского университета С.Н. Янковская, выступая перед участниками олимпиад, на вопрос: «Что значит решить задачу?» дала простой, но неожиданный для слушателей ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым». Мы уже установили, что решение нестандартных задач состоит в сведении их путём преобразований или переформулирования к стандартным задачам, которые можно рассматривать как решённые ранее. Конечно, этот совет верен и простой, но практически им воспользоваться не так-то просто. Ведь нет определённых правил для сведения незнакомых задач к знакомым, уже решённым. Однако, если внимательно, вдумчиво анализировать задачу, решая задачи, фиксировать в памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, то постепенно выработается умение в таком сведении.

Рассмотрим пример: В произвольном выпуклом пятиугольнике вершины и стороны пронумерованы в порядке обхода по часовой стрелке. Середины первой и третьей сторон, а также второй и четвёртой соединены отрезками. Затем середины этих двух отрезков соединены также отрезком. Найдите длину последнего отрезка, если длина пятой стороны равна а.

Решение: Построим схематическую запись (рис.4).

Рис.4

Видим, что задача явно незнакомого вида. К каким задачам её можно свести? Читая внимательно условие, обращаем внимание на то, что речь идёт о серединах сторон. Середины сторон встречаются в задачах на среднюю линию треугольника, среднюю линию трапеции. Известна также задача, где речь идёт о последовательном соединении середин сторон четырёхугольника. А нам дан пятиугольник. Естественно возникает идея отсечь от пятиугольника четырёхугольник. Только это надо удачно сделать. Удобно для этого соединить вершины А₁ и А₄. В полученном четырёхугольнике А₁А₂А₃А₄ середины первых трёх сторон отмечены точками В₁, В₂, В₃.Отметим середину четвёртой стороны А₁А₄ точкой С (рис. 5).

Рис. 5

Если последовательно соединить эти середины сторон четырёхугольника А₁А₂А₃А₄ (точки В₁, В₂, В₃, С), то получится параллелограмм В₁В₂В₃С. Если раньше эта задача (о последовательном соединении середин четырёхугольника) не решалась, то это легко доказать сейчас, что полученная фигура есть параллелограмм. Диагональ А₂А₄ разбивает четырёхугольник на два треугольника. В₂В₃ есть средняя линия треугольникаА₂А₃А₄, и поэтому она параллельна диагонали А₂А₄ и равна её половине. Аналогично, В₁С параллельна той же диагонали и равна её половине. Следовательно противоположные стороны В₂В₃ и В₁C четырёхугольника В₁В₂В₃С В₁ параллельны и равны. Поэтому четырёхугольник В₁В₂В₃С В₁ – параллелограмм.

В этом параллелограмме В₁В₃ и В₂С являются диагоналями, а они в точке пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что точка М (середина диагонали В₁В₂) должна совпадать с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, а поэтому М есть и середина диагонали В₂С. А точка N есть середина В₂В₄. Тогда MN – средняя линия треугольника СВ₂В₄. Отсюда следует, что MN = 0,5СВ₄. А СВ₄ – средняя линия треугольника А₁А₄А₅, поэтому СВ₄ = 0,5 А₁А₅ = 0,5а. MN = 0,25а.

II.4. Моделирование в процессах решения задач

В науке широко используется метод моделирования. Заключается он в том, что для исследования какого-то объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и сего помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. В процессе решения многих задач широко используется моделирование этих задач. Покажем на примере:

Объём конуса в 2 раза больше объёма, вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение: Построим схематическую запись задачи – модель конуса. Для этого проведём сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса. В сечении получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью (рис. 6). Т.к. боковая сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота треугольника есть ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания.

Рис. 6

Дано: АВМ – осевое сечение конуса; АМ = ВМ; МК┴АВ; окружность (О,ОК) – осевое сечение шара; V_к:V_ш = 2.

Найти:

По известным формулам Найдём объёмы конуса и шара:

V_к =1/3ּπАК²·МК; V_ш = 4/3πОК³. По условию имеем V_к:V_ш =1/3πАК²·МК: 4/3πОК³ = 2. Получаем: АК²·МК:4ОК³ = 2. (1)

Выразим все отрезки, входящие в равенство (1), через угол x отрезок АК = y.

Из треугольника АМК находим: МК = АК tgytgx. (2)

Из треугольника АОК находим: ОК = АК tg

Очевидно, ОА – биссектриса угла МАК, поэтому ОК = ytgx/2. (3)

Подставим найденные выражения их (2) и (3) в (1):

у²·уtgx:( ytgx/2)³ = 2, получаем: tgx = 8 tg³x/2.

Это тригонометрическое уравнение есть модель исходного условия задачи при условии, что 0⁰0. Решив это уравнение при этом условие, найдём ответ задачи

2.Если же разбить сложную задачи разбить на подзадачи не удаётся, то надо, если можно, преобразовать её в более простой, в более знакомый вид.

3.Если же не удаётся, не разбить задачу на подзадачи, не преобразовать в более простой вид её, то надо ввести какие-либо вспомогательные элементы, с тем, чтобы получить задачу, которую можно разбить на подзадачи, или же преобразовать в более простой вид.

Библиографический список

1. Александров Л. Д. Геометрия 6-8. М.: Просвещение, 1982.

2. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 1996.

3. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11. М. Просвещение, 2002.

4. Погорелов А.В. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 1996.

5. Медяник А. И. Учителю о школьном курсе планиметрии. М.: Просвещение, 1984.

6. Дышинский Е.А Геометрия треугольника и окружности. Пермь,1993.

7. Корешкова Т.А. Математика. Тренировочные задания. М.: Просвещение. Эксмо, 2006.

8. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., Бойченко Е.М. ЕГЭ: математика: 2004 – 2005. М.: Просвещение, 2005.

9. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1984.

10. Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. М.: Просвещение, 1984.

11. Никольская И.Л., Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать. М.: Просвещение, 1989.