Взаимное расположение прямых

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.

Под углом между прямыми в плоскости понимают меньший (острый) из двух смежных углов образованными этими прямыми.

Если прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=к₁х+b₁ и у=к₂х+b_2, то угол φ между ними вычисляется по формуле

tg φ=

Условие параллельности прямых l₁ и l₂ имеет вид

k₁ = k₂,

а условие их перпендикулярности

k₁ = - (или k₁k₂= - 1)

Если прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями А₁х+B₁y+C₁=0 и А₂х+B₂y+C₂=0,

то величина φ угла между ними вычисляется по формуле

tg φ=

угловые их параллельности

( или А₁В₂-А₂В₁=0)

Условие их перпендикулярности

А₁А₂+В₁В₂=0

Для нахождения общих точек прямых l₁ и l₂ необходимо решить систему

уравнений

А₁х+В₁у+С₁=0, у=k₁x+b₁

или

А₂х+B₂y+C₂=0, у=k₂x+b₂

При этом:

Если , то имеется единственная точка пересечения прямых ;

Если - прямые l₁ и l₂ не имеет общей точки, т. е параллельны;

Если -прямые имеют бесконечное множество точек т.е совпадают

Расстоянием d от точки М₀ (х₀;у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую .

Расстояние d определяется по формуле

d=

Расстояние от точки М₀ (х₀;у₀) до прямой х cos + y sin- p=0 вычисляется по формуле

d=

ПРИМЕР: найти угол между прямыми :

1) y=2x-3 и y=;

2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;

3) y= и 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 и y=5x-2;

1. Воспользуемся формулой. Подставляя в неё значения k₁=2 и k₂= , находим tg===

=arctg);

1. Подставим значения А₁ = 2, В₁=-3,А₂=5,В₂=-1 в формулу : tg==1,

2. Здесь k₁=найдём k₂. Для этого перейдём от 6y =-8x-5 к эквивалентному равенству y=- Здесь k₂=-Так как k₁*k₂=-1, то данные прямые перпендикулярны. (По формуле получаем:tg==)

3. k₁=5,k₂=5, tg=0,=0.

Задания для практических занятий:

1. Найти угол между прямыми:

1) у=0,5х-3 и у=2х-2;

2) 2х-3у-7=0 и 2х-у+5=0;

3) у=х+6 и 3х-2у-8=0;

4) у= 7х -1 и у=7х+1;

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 3х+5у-9=0 и 10х-6у+4=0

2) 2х+5у-2=0 и х+у+4=0;

3) 2у=х-1 и 4у-2х+2=0;

4) х+8=0 и 2х-3=0;

5) =1 и у=х+2;

6) х+у=0 и х-у=0

7)у+3=0 и 2х+у-1=0;

8) у=3-6х и 12х+2у-5=0;

9) 2х+3у=8 и х-у-3=0

10) х -у-1=0 и х +у+2=0

3. При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны.

1) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0;

2) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0;

3) 4х+у-6=0 и 3х+у-2=0;

4) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0;

4.Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0; х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

5. Найти уравнение прямой, проходящий через точку А (-1;2):

а) параллельно прямой у=2х-7;

б) перпендикулярно прямой х+3у-2=0.

6. Найти длину высоты ВД в треугольнике с вершинами А (4;-3); В (-2;6) и С (5;4).

7. Даны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х-11у-29=0 и 3х-у+11=0.

Найти вершины этого треугольника.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти острый угол между прямыми:

1) у=3х и у= - х

2) 2х-3у+6=0 и 3х-у-3=0

3) =1 и =1

4) 3х+4у-12=0 и 15х-8у-45=0

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 2х-3у+4=0 и 10х+3у-6=0

2) 3х-4у+12=0 и 4х+3у-6=0

3) 25х+20у-8=0 и 5х+4у+4=0

4) 4х+5у-8=0 и 3х-2у+4=0

5) у=3х+4 и у=-3х+2

3. Найти уравнение прямой, проходящий через точку В (2;-3)

а) параллельно прямой, соединяющей точки М₁ (-4;0) и М₂ (2;2);

б) перпендикулярно прямой х-у=0.

4. Составить уравнение прямой, содержащий высоту ВД в треугольнике с вершинами

А (-3;2), В (5;-2), С (0; 4)

5. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2х+у+4=0, х+7у-11=0 и 3х-5у-7=0.

6.Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

7. Дан четырехугольник АВСД с вершинами А (3;5); В (6;6); С (5;3); Д (1;1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

8.Даны вершины треугольника А(2;-2), В (3;5), С (6;1). Найти:

1) длины сторон АС и ВС;

2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС;

3) уравнение прямой , на которой лежит высота, проведенная из В;

4) длину этой высоты;

5) уравнение прямой, на которой лежит медиана проведенная из точки А;

6) длину этой медианы;

7) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

8) центр тяжести треугольника;

9) площадь треугольника;

10) угол С;

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. 1)63⁰; 2) 37,9⁰; 3) 31,3⁰; 4) 81,2⁰. 2.1)Параллельны;

2)Перпендикулярны; 3)Параллельны; 4)Пересекаются; 5)Пересекаются;

3. а)х-3у-11=0; б)х+у+1=0; 4. 3х+2у-11=0; 5. 13; 6. 7х-у=0 и 17у-28=0; 7. а)(4;4);

б); 8. 1)-5;5 2)4х+3у-27=0,3х-4у-14=0; 3)4х+3у-27=0; 4)5; 5)2х-у-6=0; 6) ; 7)х+7у-13=0; 8)(;); 9); 10)

4