Гипербола

ГИПЕРБОЛА

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Коническое уравнение гиперболы :

где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2а и 2b называются соответственным действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F₁(- с;0),F₂(c;0), с – половина расстояния между фокусами(рис.35).Числа а, b и c связаны соотношением

c² = a² + c²

Точки А и В называются вершинами гипербол, точка О – центром гиперболы, расстояние r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до фокусов называются фокальными радиусами этой точки

(, т.к. с a)

Называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами : для точек первой величины гиперболы:

r_{1 =} a + x, r₂ = - f + ;

для точек любой ветви:

r₁ = - a + , r₂ = a -

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой Щ, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

y = x.

Две прямые l₁ и l_2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящей от нее на расстоянии, равном _, называется директрисами гиперболы. Их уравнения

x = и x = -.

Замечания, 1) Если a = b, то гипербола (3.12) называется равносторонней ( равнобочной). Ее уравнение принимает вид

x² – y² = a²

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оy, то уравнение гиперболы имеет вид

- = 1.

Эксцентриситет этой гиперболы равен = , асимптоты определяются уравнениями y = x,

А уравнение директрис y = . Гипербола (3.20) называется сопряженной гиперболе (3.12); она имеет вид , изображенный на рисунке 36;

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

где (x_0; y₀) – координаты центра гиперболы (рис.37).

Задания для практических занятий:

1. Дано уравнение гиперболы =20. Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнения асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки М (3;2,5)

2. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

1) 2с=10; а=3;

2) с=3 Е=1,5;

3) в=6;, уравнения асимптот у=;

4.Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁ (-2;4) и F₂ (12;4),

а длина мнимой оси равна 6.

5. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М₁ (6;-1) и М₂ (-8;-2)

6. Составить уравнения асимптоты гиперболы . ²- =1, построить ее.

7. Дан эллипс =40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах данного эллипса.

8. Составить уравнение равносторонний гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) А (-5;4); 2) В (8;2)

Задания для самостоятельной работы.

1. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках

А₁ (-3;0) и А₂ (3;0), фокусы - в точках F₁ (0;-5) и F₂ (5;0).

2. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= х и она проходит через точку (6; - 4)

3. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если:

1) длины ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3;

2) длина мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) с=10 и уравнение асимптот у=;

2) Е= и расстояние между директрисами ;

3) Е = и точка М ( ) лежит на гиперболе.

5. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М (4; ) .Найти расстояние от точки М до правого фокуса.

6. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (- );

7. Дана гипербола =1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М (4; ).

8. На гиперболе =1 найти точку М, ближайшую к прямой 2х+у-2=0 и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. =1; 2.=1; 3.1) =1; 2)=1; 4.1)=1; 2) =1; 3)=1; 5. =1 ;; 6. =2; 7. =1; 8. (8); .

5